Кратко: пересечение параболы (заданной фокусом $F$ и директрисой $d$) с прямой $l$ всегда редуцируется к квадратичному уравнению — его корни находятся геометрически циркулем и линейкой (операции сложения, деления, умножения на заданный отрезок и извлечение квадратного корня выполняются с помощью подобных треугольников и окружностей). Ограничение: реально пересечение существует тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен; все построения возможны потому, что корни квадратичного уравнения выражаются через квадратные корни (конструктивно выполнимые).
Алгоритм (пошагово, достаточно общая схема; все геометрические операции — построение перпендикуляров, параллельных, деление/умножение отрезков через подобие, извлечение квадратного корня через окружность — допускаются):
1) Оси и система координат.
- Проведите перпендикуляр к директрисе $d$ через фокус $F$; опустите проекцию $H$ фокуса на $d$. Постройте середину $V$ отрезка $FH$ — это вершина параболы; ось параболы $a$ — прямая $FV$.
- Возьмите через $V$ прямую $x$ (касательную к параболе в вершине) перпендикулярную $a$. Введена ортогональная система с началом в $V$, осью $y$ вдоль $a$. Пусть $p=|FV|$ (положительная длина).
2) Запись уравнения параболы и прямой.
- В этих координатах парабола задаётся уравнением
$$y=\frac{x^2}{4p}.$$ - Представьте прямую $l$ в виде
$$y=mx+b,$$ получая $m$ и $b$ геометрически: возьмите единичный отрезок на оси $x$ (любой выбранный) и с помощью параллельных переносов/подобия постройте величины приращения по $y$ на единицу по $x$ (это дает $m$); пересечение $l$ с осью $y$ даёт $b$. (Если прямую удобнее задать вертикально — используйте соответствующую подстановку, см. замечание ниже.)
3) Редукция к квадратному уравнению.
- Подстановка даёт однонаправленное уравнение для $x$:
$$\frac{x^2}{4p}=mx+b⟹x^2-4pmx-4pb=0.$$ Это квадратное уравнение вида
$$x^2+Ux+V=0,$$ где $U=-4pm,V=-4pb$.
4) Геометрическое решение квадратичного уравнения.
- Выполните «перевод в полные квадраты»:
$$(x-2pm{)}^2=4p(p{m}^2+b).$$ Отсюда
$$x=2pm\pm 2\sqrt{p(p{m}^2+b)}.$$ - Все операции в правой части (умножения $p{m}^2$, сложение с $b$, умножение на $p$, извлечение квадратного корня $\sqrt{\cdot }$, умножение на 2 и сложение с $2pm$) выполняются геометрически:
- умножение и деление отрезков через построение подобных треугольников;
- извлечение квадратного корня из положительного отрезка $s$: стандартная конструкция — построить отрезок $1+s$ (единицу можно взять произвольно), провести полуокружность с диаметром $1+s$ и из прямоугольного треугольника получить отрезок длины $\sqrt{s}$ (см. стандартную конструкцию квадратного корня окружностью);
- сложение/вычитание смещения $2pm$ и перенос отрезков тоже выполняется параллельным переносом/подобием.
- После получения абсцисс $x$ постройте соответствующие точки на прямой оси $x$ и перенесите на прямую $l$ вычисленные абсциссы (через уравнение $y=mx+b$ или прямое построение точки с координатами $x,y$) — это и будут искомые точки пересечения.
5) Обработка вырожденных и частных случаев.
- Если дискриминант (в выражении под корнем $p(p{m}^2+b)$) отрицателен — действительных пересечений нет.
- Если подкоренное значение равно нулю — касание (одинарный корень) — строится одна точка.
- Если прямая параллельна оси $x$ или совпадает с директрисой — подстановка упрощается и даёт линейное или тривиальное уравнение (удобнее решать прямо).
Ограничения и замечания.
- Конструктивно возможны только операции, приводящие к конечному числу сложений, умножений на уже построенные отрезки и извлечений квадратного корня. Это покрывает все случаи решения квадратного уравнения, поэтому пересечения параболы и прямой конструктивно достижимы циркулем и линейкой (в евклидовой геометрии).
- На практике реализация требует последовательных переносов отрезков и аккуратного выбора «единичного» отрезка; длины выражений вроде $m$ и $b$ представлены как отрезки, получаемые через подобие и проекции.
- Метод универсален для параболы заданной фокус–директриса. Если парабола задана иным способом (каноническое уравнение, фокус/вершина и т.п.), сначала переведите в эквивалентную задачу с известным $p$ и системой координат.
Если нужно, могу дать подробную геометрическую инструкцию для шага 4 (конструкция произведения/квадрата/корня с конкретными чертежами и схемой построения).