Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a=BC,b=CA,c=AB$. Исследуем две классические задачи.
1) Точка $X$, для которой заданы суммы расстояний до пар вершин
$$XA+XB=p,XB+XC=q,XC+XA=r.$$
a) Необходимость и выражения для расстояний. Складывая уравнения получаем
$$2(XA+XB+XC)=p+q+r.$$ Обозначим $x=XA,y=XB,z=XC$. Из системы явным образом
$$x=\frac{p+r-q}{2},y=\frac{p+q-r}{2},z=\frac{q+r-p}{2}.$$ Отсюда обязательные условия
$$x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0\iff p+r\ge q,p+q\ge r,q+r\ge p$$ (триангулярные неравенства для $p,q,r$).
b) Условие совместимости с геометрией треугольника (необходимое и достаточное). Точка $X$ существует тогда и только тогда, когда окружности с центрами $A,B,C$ и радиусами $x,y,z$ имеют общую точку. Для каждой пары центров это даёт стандартные неравенства:
$$|x-y|\le c\le x+y,|y-z|\le a\le y+z,|z-x|\le b\le z+x.$$ Поскольку $x+y=p,y+z=q,z+x=r$, эти условия эквивалентны системе
$$p\ge c,q\ge a,r\ge b,$$ $$|q-r|\le 2c,|p-r|\le 2a,|p-q|\le 2b,$$ совместно с неотрицательностью $x,y,z$. Эти условия необходимы и достаточны (потому что тогда попарные пересечения окружностей непусты и третья тоже проходит через ту же точку).
c) Единственность. Если существует, то такая точка однозначно определяется её расстояниями до трёх непараллельных центров (система троек окружностей имеет не более одного общего пересечения при фиксированных радиусах), поэтому решение единственно (кроме вырожденных случаев).
2) Ферма (минимизация суммы расстояний) и центр масс (минимизация суммы квадратов).
a) Центр масс (медиана/центроид). Функция $F(X)=X{A}^2+X{B}^2+X{C}^2$ имеет единственный минимум в центроиде $G$ (точке пересечения медиан). Это следует из квадратичности: $F(X)=3X{G}^2+$ const, поэтому минимум всегда существует и равен в точке $G$.
b) Ферма (точка, минимизирующая $S(X)=XA+XB+XC$). Существует минимум $S_{\min }$ (функция непрерывна, стремится к бесконечности при уходе в бесконечность), минимум достигается в замкнутом и ограниченном выпуклом подмножестве (например, в замыкании треугольника). Характеризация:
- Если в треугольнике есть угол $\ge 120^{\circ }$, то точка минимума — соответствующая вершина (например, если $\angle A\ge 120^{\circ }$, то минимум в $A$).
- Если все углы $<120^{\circ }$, то существует единственная внутренняя точка $X_F$ (точка Ферма), для которой угол между любыми двумя отрезками к вершинам равен $120^{\circ }$:
$$\angle A{X}_{F}B=\angle B{X}_{F}C=\angle C{X}_{F}A=120^{\circ }.$$ Доказательство: при условии всех углов $<120^{\circ }$ из вариационного условия (нулевой суммарный вектор градиента по направлениям) получается система, эквивалентная равенству векторов единичных направлений с результирующим нулём, что эквивалентно равенству углов $120^{\circ }$. В случае угла $\ge 120^{\circ }$ смещение в сторону этой вершины уменьшает сумму, пока не окажется в вершине.
Замечание о связи задач: центроид минимизирует сумму квадратов расстояний, Ферма — сумму модулей; обе точки всегда существуют (центроид внутри треугольника; Ферма — в треугольнике либо в вершине), но условия их локализации и характер различаются, как указано выше.
Итого: для задачи «заданы суммы по парам» решение даётся явной формулой для $x,y,z$ и дополнительно требуются неравенства совместимости с длинами сторон (см. пункт 1b). Для задачи Ферма/центроида даны условия существования и критерии положения точки минимума.