Пусть вершины тетраэдра $A_1,A_2,A_3,A_4$ и длина ребра равна $a$. Для точки $X$ положим
$$f(X)=\sum _{i=1}^4|X{A}_i|.$$
1) Минимум и максимум. Так как функция $X\mapsto |X{A}_i|$ выпукла, то $f$ — выпуклая функция. Из симметрии правильного тетраэдра единственная точка, инвариантная при всей группе его симметрий, — это центр (центроид, который совпадает с центром описанной сферы) $O$; поэтому минимум достигается в $O$ и единственен:
$$\min f=f(O)=4R,$$ где для правильного тетраэдра $R$ (радиус описанной сферы) равен $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$, значит
$$\min f=a\sqrt{6}.$$ Максимум на замкнутом тетраэдре достигается в вершинах; при $X=A_i$ имеем $f=3a$, следовательно
$$\max f=3a.$$ Итак возможные значения суммы — интервал $\left[a\sqrt{6},3a\right]$.
2) Вид множества уровня $f(X)=c$.
- Для $c=a\sqrt{6}$ множество уровня — единственная точка $O$.
- Для $c=3a$ множество уровня — четыре вершины $A_i$.
- Для любого $c$ из интервала $\left(a\sqrt{6},3a\right)$ множество уровня — незамкнутая сверху (внутри тетраэдра) замкнутая выпуклая гладкая поверхность, инвариантная относительно группы симметрий правильного тетраэдра (операции тетраэдральной симметрии). Топологически это сфера, гладкая и строго выпуклая (каждая составляющая функции расстояния гладка вне вершин, сумма потому тоже гладкая на уровне, не проходящем через вершины). Поверхности уровня расположены концентрически вокруг $O$: при увеличении $c$ они монотонно «растут» и стремятся к вершинам при $c\to 3a$.
Кратко: множества точек с постоянной суммой расстояний к вершинам правильного тетраэдра при фиксированном $c\in \left[a\sqrt{6},3a\right]$ — для краёв интервала это точки $O$ и набор вершин, а для внутренних значений — гладкие замкнутые выпуклые поверхности с тетраэдральной симметрией, вложенные одна в другую и центрированные в $O$.