Приведу три разных доказательства теоремы Пифагора и кратко их сравню.
1) Доказательство перестановкой (классическое «Бхаскара»).
Построим квадрат со стороной $a+b$ и поместим в него четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$, так что в центре остаётся маленький квадрат со стороной $c$. Считать площадь двумя способами:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2.$$ Раскрывая левую часть,
$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$ Преимущества/применимость: визуально наглядено, лёгок для показа в школе (5–9 класс), хорошо развивает интуицию. Минусы: менее «формальный» для строгой аксиоматической проверки (основан на площади и перестановке фигур).
2) Доказательство через подобие треугольников (высота на гипотенузу).
В прямоугольном треугольнике опустим высоту $h$ на гипотенузу $c$, она делит $c$ на отрезки $d$ и $e$ ($d+e=c$). По подобию больших и малых треугольников имеем
$$\frac{a}{c}=\frac{d}{a}\Rightarrow a^2=cd,\frac{b}{c}=\frac{e}{b}\Rightarrow b^2=ce.$$ Сложим:
$$a^2+b^2=c(d+e)=c\cdot c=c^2.$$ Преимущества/применимость: более геометрически строгий, использует понятие подобия, хорош для курса геометрии (9–11 класс). Даёт дополнительно сведения о проекциях и связях сторон; легко обобщается в теоремы про проекции. Минусы: требует понимания подобия и свойств высоты.
3) Аналитическое (координатное / векторное) доказательство.
Поместим прямой угол в начало координат: вершины $(0,0),(a,0),(0,b)$. Длина гипотенузы — расстояние между $(a,0)$ и $(0,b)$:
$$c^2=(a-0{)}^2+(0-b{)}^2=a^2+b^2.$$ Или векторно: для вектора $v=(a,b)$ норма даёт $\Vert v{\Vert }^2=v\cdot v=a^2+b^2$.
Преимущества/применимость: коротко и алгебраически строго, естественно для аналитической геометрии и линейной алгебры, легко обобщается на более высокие размерности. Минусы: менее геометрически «наглядно» для младших школьников, требует координат и алгебры.
Сравнение и рекомендации для обучения:
- Наглядность: перестановочный метод > подобие > аналитический. Лучше для начальной визуальной мотивации.
- Формальная строгость и связь с теорией: подобие и аналитический метод сильнее; аналитический хорошо связывается с алгеброй и векторами.
- Применимость: для начальной школы/ранней геометрии — перестановка; для курса евклидовой геометрии — доказательство через подобие; для старшей школы/университета и общей математической подготовки — аналитическое/векторное доказательство.
- Обобщения: аналитическое и подобие легче обобщаются (вектора, скалярные произведения, проекции), перестановочный метод — специфичен для евклидовой плоскости и площади.
Вывод: полезно демонстрировать несколько доказательств — сначала наглядное (перестановка) для интуиции, затем более строгие (подобие, аналитика) для формализации и обобщений.