Пусть окружность с центром $C(a,b)$ и радиусом $R$, фиксированная внутренняя точка $P(x_0,y_0)$. Рассмотрим середину $M(x,y)$ хорды, проходящей через $P$. Сделаем сдвиг координат так, чтобы центр $C$ был в начале: $u=x-a,v=y-b,p_x=x_0-a,p_y=y_0-b$. Для круга с центром в начале получаем условие
$$u^2+v^2=p_{x}u+p_{y}v.$$ Выполним полный квадрат:
$$(u-\frac{p_x}{2}{)}^2+(v-\frac{p_y}{2}{)}^2=\frac{p_x^2+p_y^2}{4}.$$ Возвращаясь к исходным координатам, уравнение геометрического места середин:
$$(x-\frac{a+x_0}{2}{)}^2+(y-\frac{b+y_0}{2}{)}^2=\frac{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2}{4}.$$
Геометрическая интерпретация: это окружность с центром в середине отрезка $CP$ и радиусом $\frac{1}{2}|CP|$, т.е. окружность с диаметром $CP$.