Коротко: ненулевое (невырожденное) параллельное проецирование плоскости на другую — это аффинное биективное отображение между плоскостями. Отсюда вытекают все его инварианты. Приведу определение, формулировки инвариантов и краткие доказательства.
Определение и алгебраическое представление.
- Пусть $\pi$ и ${\pi }^{\prime }$ — две плоскости в пространстве, $d$ — фиксированное ненулевое направление, не параллельное ${\pi }^{\prime }$. Проецирование точки $X\in \pi$ вдоль $d$ на ${\pi }^{\prime }$ даёт точку $X^{\prime }={\pi }^{\prime }(X)$.
- Выберем в $\pi$ координаты $(x,y)$ и в ${\pi }^{\prime }$ координаты; тогда уравнение прямой через $X$ в направлении $d$ и условие пересечения с ${\pi }^{\prime }$ приводят к тому, что координаты $X^{\prime }$ являются аффинными функциями $(x,y)$. То есть существует матрица $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ и вектор $b$ такие, что
$$X^{\prime }=A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+b.$$ Следовательно, проекция — аффинное отображение.
Основные инварианты (и короткие доказательства).
1) Коллинеарность и пересечение (инцидентность).
- Пусть три точки $X_1,X_2,X_3$ коллинеарны в $\pi$. Параметризация прямой даёт координаты вида $(x(t),y(t))$ линейно зависящие от параметра; под действием $X^{\prime }=AX+b$ изображение параметриза­ции остаётся линейной функцией параметра, значит изображения точек лежат на одной прямой. Аналогично, точка пересечения двух прямых переходит в пересечение образов этих прямых. Итого: коллинеарность и concurrency сохраняются.
2) Параллельность.
- Аффинное отображение переводит прямые в прямые и сохраняет направление: если две прямые в $\pi$ параллельны, то их образы — параллельны (либо совпадают). Формально: если $L_1,L_2$ задаются направляющими векторами $u$ и $u$, то образы имеют направляющие $Au$ и $Au$, т.е. совпадающие.
3) Отношения отрезков на одной прямой (деление в данном отношении).
- На одной прямой координаты точек выражаются одним параметром $t$. Аффинная формула $t\mapsto at+b$ сохраняет отношения разностей, поэтому если точка $M$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$ (т.е. $AM:MB=\lambda$), то образы дают то же $\lambda$. В частном: середина сохраняется.
4) Аффинные (барицентрические) комбинации.
- Если $X=\alpha X_1+\beta X_2+\gamma X_3$ при $\alpha +\beta +\gamma =1$, то $X^{\prime }=AX+b=\alpha X_1^{\prime }+\beta X_2^{\prime }+\gamma X_3^{\prime }$. То есть все утверждения, выражаемые через аффинные комбинации, инвариантны.
5) Отношения площадей.
- Линейная часть $A$ масштабирует ориентированные площади на множитель $\det A$. Поэтому площади любых двух фигур умножаются на один и тот же множитель, значит отношение площадей двух фигур сохраняется:
$$\frac{S(F_1^{\prime })}{S(F_2^{\prime })}=\frac{\det A\cdot S(F_1)}{\det A\cdot S(F_2)}=\frac{S(F_1)}{S(F_2)}.$$
6) Дорядок/межность и выпуклость.
- Поскольку на прямой отображение даёт монотонное (аффинное) преобразование параметра, порядок точек и свойство «точка лежит между» сохраняются. Следовательно, выпуклость множеств сохраняется.
7) Кросс-отношение (cross-ratio) и гармоническое деление.
- Для чётверки коллинеарных точек с координатами $x_1,x_2,x_3,x_4$ кросс-отношение
$$(x_1,x_2;x_3,x_4)=\frac{(x_1-x_3)(x_2-x_4)}{(x_1-x_4)(x_2-x_3)}$$ инвариантно при аффинном преобразовании $x\mapsto ax+b$ (фактор $a$ сокращается). Следовательно гармонические четверки сохраняются.
Замечание о неинвариантах.
- Длины, углы, радиусы окружностей и соотношения длины на непараллельных прямых в общем случае не сохраняются (требуется дополнительное условие, чтобы отображение было изометрией или подобием).
Итог: все инварианты параллельного проецирования — это именно те свойства, которые инвариантны для аффинных отображений: инцидентность (коллинеарность, пересечения), параллельность, деление отрезка в отношении (включая середину), аффинные комбинации, отношения площадей, порядок/выпуклость, кросс-отношение и т. п.; при этом длины и углы в общем не сохраняются.