Возьмём выпуклый многоугольник с чётным числом вершин $2m$. Обозначим его площадь $S$. Нужно получить $m$ ребёристых (т. е. ограниченных отрезками) равновеликих фигур.
Метод (с шагами):
1. Выберите направление прямой (любой, не совпадающее ровно с касательной в каких‑то вершинах; это можно обеспечить простым поворотом на малый угол). По этому направлению рассматривайте семейство параллельных прямых, перебирая их, сдвигая от одной «поддерживающей» грани к другой.
2. Для $k=1,2,\dots ,m-1$ найдите положение прямой $l_k$ из этого семейства такое, что площадь части многоугольника слева (или с одной стороны) от $l_k$ равна $k\frac{S}{m}$.
3. Проведите все такие прямые; они пересекут многоугольник по отрезкам (хордам) и разобьют его на $m$ частей, каждая из которых имеет площадь $\frac{S}{m}$.
Обоснование корректности:
- При сдвиге параллельной прямой площадь отрезаемой части изменяется непрерывно от $0$ до $S$. По непрерывности (теореме о промежуточных значениях) для каждого значения $k\frac{S}{m}$ существует положение прямой с требуемой площадью.
- У выпуклого множества пересечение с прямой есть отрезок (или точка). Если прямая не проходит через вершину, пересечение — внутренний отрезок (хорда). Поэтому каждый разрез является отрезком, и полученные части ограничены отрезками и сторонами исходного многоугольника — то есть «ребёристые».
- Разрезы не накладываются и идут последовательно по мере сдвига прямой, следовательно получаем разбиение на непересекающиеся области, сумма площадей которых равна $S$. По выбору каждой границы каждая часть имеет площадь ровно $\frac{S}{m}$.
Замечание: чётность числа вершин нужна только чтобы требуемое число частей $m=\frac{n}{2}$ было целым; сам метод применим (с тем же доказательством) для любого требуемого числа частей.