Кратко: пересечение семейств вращений и гомотетий в пространстве линейных преобразований плоскости состоит из не более двух преобразований — тождественного и (включая отрицательную гомотетию) центральной симметрии.
Аналитическое исследование
- Обозначим множество вращений $R=\{R_{\theta }\}$, где
$$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),$$ и множество гомотетий $H=\{\lambda I:\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\}$.
- Решим условие $R_{\theta }=\lambda I$. Сравнение элементов даёт $\sin \theta =0$ и $\cos \theta =\lambda$. Отсюда $\theta =m\pi$ и $\lambda =\cos (m\pi )=(-1{)}^m$. То есть возможны только
$$(\theta ,\lambda )=(0,1)\text{или}(\pi ,-1).$$ - Старший алгебраический способ: $\det R_{\theta }=1$, $\det (\lambda I)={\lambda }^2$. Равенство детерминантов даёт ${\lambda }^2=1\Rightarrow \lambda =\pm 1$, далее ортогональность исключает прочие варианты.
Геометрическое содержание
- Для $\lambda =1$ получаем тождественное преобразование $I$ (вращение на $0$).
- Для $\lambda =-1$ получаем центральную симметрию относительно начала (вращение на $\pi$), матрица $-I$.
- Если в определении гомотетии требовать положительного коэффициента масштабирования $\lambda >0$, то единственный общий элемент — тождество $I$.
Свойства пересечения как множества
- Пересечение $R\cap H=\{I,-I\}$ при допускаемой $\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$; при требовании $\lambda >0$ — $R\cap H=\{I\}$.
- Это дискретная подгруппа в общей группе линейных преобразований; при $\{I,-I\}$ она изоморфна ${\mathbb{Z}}_2$.
- Коммутативность: элементы пересечения коммутируют с любыми гомотетиями и с поворотами той же оси (здесь — центральные), т.к. это скаляры по единичной матрице.
Дополнительно (представление через комплексную плоскость)
- Представляя преобразования как умножение комплексного числа на $e^{i\theta }$ (вращение) и на $\lambda \in \mathbb{R}$ (гомотетия), пересечение соответствует решению $e^{i\theta }=\lambda \in \mathbb{R}$, т.е. $e^{i\theta }=\pm 1$.
Итого: аналитически и геометрически общими для семейств вращений и гомотетий являются только $I$ и $-I$ (или только $I$, если требовать положительной гомотетии).