Пусть даны длины двух медиан $m_b$ и $m_c$ и угол между ними $\phi$. Построение, корректность и исследование существования.
Построение
1. Возьмите точку $G$ (будущий центр тяжести). Через $G$ проведите два луча с углом между ними $\phi$.
2. На первом луче отложите от $G$ точку $B$ так, чтобы $$GB=\frac{2}{3}{m}_b.$$ На втором луче отложите от $G$ точку $C$ так, чтобы $$GC=\frac{2}{3}{m}_c.$$ 3. Продолжая лучи через $G$ на ту же прямую в противоположную сторону, отложите точки $M$ и $N$ такие, что $$GM=\frac{1}{3}{m}_b,GN=\frac{1}{3}{m}_c.$$ (Точки $M$ и $N$ лежат на тех же прямых, что и $B$ и $C$, соответственно, по другую сторону от $G$.)
4. Постройте точку $A$ как отражение точки $C$ относительно $M$ (или как отражение $B$ относительно $N$). Т.е. $A$ такова, что $M$ — середина отрезка $AC$ (или $N$ — середина $AB$).
Доказательство корректности
- Пусть $G$ — центр тяжести треугольника $ABC$. Тогда $G$ делит медианы в отношении $2:1$ от вершины: если медиана из вершины $B$ равна $m_b$, то $BG=\frac{2}{3}{m}_b$ и $GM=\frac{1}{3}{m}_b$. Аналогично для вершины $C$.
- В построении мы точно так и отложили $BG=\frac{2}{3}{m}_b$, $CG=\frac{2}{3}{m}_c$, поэтому полученные отрезки $BM$ и $CN$ имеют длины $$BM=\frac{3}{2}BG=m_b,CN=\frac{3}{2}CG=m_c,$$ и угол между прямыми $BM$ и $CN$ равен заданному $\phi$.
- Векторное подтверждение. Положим $G$ в начало координат, пусть вектора к вершинам $B$ и $C$ равны $\mathbf{b},\mathbf{c}$ с $|\mathbf{b}|=\frac{2}{3}{m}_b,|\mathbf{c}|=\frac{2}{3}{m}_c$ и угол между ними $\phi$. Тогда требуемая вершина $A$ должна удовлетворять $\mathbf{A}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=0$ (свойство центра тяжести), поэтому $\mathbf{A}=-(\mathbf{b}+\mathbf{c})$. В построении мы получили именно такую точку отражением $C$ относительно $M$ (потому что $M=-\frac{1}{2}\mathbf{b}$, тогда $A=2M-C=-(\mathbf{b}+\mathbf{c})$). Значит построенный треугольник удовлетворяет заданным медианам и углу между ними.
Единственность
- Конструкция однозначна (до движения в плоскости): положение $B$ и $C$ относительно $G$ фиксировано длинами $\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ и углом $\phi$, а затем $A$ определяется однозначно как $A=-(B+C)$.
Случаи существования и вырождения
- Если $m_b>0,m_c>0$ и $0<\phi <\pi$, то существует ровно один (до перемещений) невырожденный треугольник с заданными данными.
- При $\phi =0$ или $\phi =\pi$ медиа́ны коллинеарны в одну линию, тогда полученный треугольник вырождается (вершины лежат на одной прямой).
- При $m_b=0$ или $m_c=0$ треугольник также вырождается (вершина совпадает с серединой противоположной стороны), что обычно не рассматривается как допустимый треугольник.
Итого: для положительных длин медиан и угла между ними из интервала \((0,\pi)\ конструкция дает единственный невырожденный треугольник; при крайних значениях угла или нулевых медиан получается вырождение.