Пусть $S$ — вершина правильной пирамиды, $O$ — центр основания; продольным сечением будем называть сечение плоскостью, содержащей ось $SO$. Пусть эта плоскость пересекает основание по отрезку $AB$ с midpoint $O$. Обозначим $AO=BO=a$, $SA=SB=\ell$ (боковое ребро), $SO=h$. Рассмотрим остроугольный треугольник $SAB$.
1) Симметрия и положение центров.
Плоскость сечения симметрична относительно оси $SO$, поэтому треугольник $SAB$ — равнобедренный с вершиной $S$ и медианой/высотой/биссектрисой $SO$. Следовательно и центр описанной окружности (пересечение серединных перпендикуляров), и центр вписанной (пересечение биссектрис) лежат на оси симметрии $SO$.
2) Формулы для радиусов.
Площадь треугольника $\Delta =\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SO=ah$. Полупериметр $s=\frac{2\ell +2a}{2}=\ell +a$. Тогда радиус вписанной окружности
$$r=\frac{\Delta }{s}=\frac{ah}{\ell +a}.$$ Для описанной окружности используем соотношение в равнобедренном треугольнике: пусть $\gamma =\angle S$. Тогда $AO=\ell \sin \frac{\gamma }{2}=a$, значит $\cos \frac{\gamma }{2}=\frac{h}{\ell }$. Так как $R=\frac{\ell }{2\cos (\gamma /2)}$, получаем
$$R=\frac{\ell }{2\cos (\gamma /2)}=\frac{{\ell }^2}{2h}.$$ Альтернативно, подставив ${\ell }^2=h^2+a^2$,
$$R=\frac{h^2+a^2}{2h}=\frac{h}{2}+\frac{a^2}{2h}.$$
3) Положение центров на отрезке $SO$.
Координаты (проекции на $SO$) центров относительно $O$: для вписанного центра $I$ его перпендикуляр к $AB$ попадает в точку $O$ (симметрия), поэтому
$$OI=r=\frac{ah}{\ell +a}.$$ Для описанного центра $C$ имеем $SC=R$ и, так как $S$ имеет координату $h$, получаем
$$OC=h-R.$$ Если треугольник остроугольный, оба центра лежат внутри треугольника, т.е. $0<OI<OC<h$ или, как минимум, $0<OI<h$ и $0<OC<h$ (для описанного центра условие $R<h$ эквивалентно остроугольности соответствующих углов). В частности $OI=r>0$ и $OC=h-R$ дают явные положения центров на оси $SO$.
4) Дополнительные соотношения.
Между центрами справедливо классическое соотношение Эйлера
$$C{I}^2=R(R-2r),$$ что в нашей конфигурации сводится к соотношению между числовыми значениями $OC$ и $OI$ (учитывая коллинеарность).
Краткое резюме: любое продольное сечение правильной пирамиды даёт равнобедренный треугольник $SAB$; в остроугольном случае описанная и вписанная окружности имеют центры на оси $SO$, радиусы выражаются формулами
$$R=\frac{{\ell }^2}{2h},r=\frac{ah}{\ell +a},$$ а их проекции на $SO$ равны $OC=h-R$ и $OI=r$. Эти формулы и наблюдения легко доказываются из симметрии и стандартных формул для радиусов окружностей в треугольнике.