Возьмём систему координат с одной вершиной куба в начале и осями вдоль рёбер; длина ребра равна $a$. Возьмём три смежные с общей вершиной вершины в точках $A=(a,0,0)$, $B=(0,a,0)$, $C=(0,0,a)$. Пусть точка внутри куба $P=(x,y,z)$. Тогда сумма квадратов расстояний
$$S=P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=(x-a{)}^2+y^2+z^2+x^2+(y-a{)}^2+z^2+x^2+y^2+(z-a{)}^2.$$ Приведя подобные члены, получаем
$$S=3(x^2+y^2+z^2)-2a(x+y+z)+3a^2.$$ Это можно записать как смещение квадрата:
$$S=3((x-\frac{a}{3}{)}^2+(y-\frac{a}{3}{)}^2+(z-\frac{a}{3}{)}^2)+2a^2.$$ Следовательно геометрическое место точек с заданной постоянной суммой $S$ — сфера с центром в точке
$$(\frac{a}{3},\frac{a}{3},\frac{a}{3})$$ и радиусом
$$r=\sqrt{\frac{S-2a^2}{3}}.$$ Внутри куба это геометрическое место — пересечение этой сферы с внутренностью куба. При $S=2a^2$ получаем единственную точку центра; допустимые значения $S$ на всем кубе лежат в промежутке $[2a^2,6a^2]$ (при $S>6a^2$ пересечений нет).