Краткий ответ (необходимое и достаточное условие).
Пусть на наборе из четырёх точек мы хотим получить выпуклый четырёхугольник $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$ заданных длин $d_1,d_2$ и с заданной суммой противоположных углов $S=A+C$ (вторую сумму $B+D$ тогда равна $360^{\circ }-S$). Обозначим точку пересечения диагоналей через $O$ и положим
$$x=AO,x^{\prime }=OC,y=BO,y^{\prime }=OD,$$ так что $x+x^{\prime }=d_1,y+y^{\prime }=d_2$. Пусть $\theta$ — угол между диагоналями в точке $O$.
Тогда необходимое и достаточное условие существования требуемого выпуклого четырёхугольника — существование положительных чисел $x,x^{\prime },y,y^{\prime }$ с указанными суммами и угла $\theta \in (0,\pi )$ (соответствующего геометрически заданному положению точек), удовлетворяющих уравнению
$$\tan \frac{S}{2}=\frac{xy+x^{\prime }{y}^{\prime }}{xy-x^{\prime }{y}^{\prime }}\tan \frac{\theta }{2}.$$ (Если $xy=x^{\prime }{y}^{\prime }$, то правая часть формально бесконечна и это соответствует частному случаю $S=180^{\circ }$.)
Пояснение / откуда берётся формула (вкратце):
- углы вершин выражаются через углы треугольников с вершиной в $O$;
- применение формулы для суммы/разности тангенсов даёт указанную связь между половиной суммы противоположных углов, отношением произведений отрезков диагоналей и углом между диагоналями.
Практическое применение к четырёхточечному набору:
- выберите пару пар точек, которые должны быть противоположными вершинами (то есть пары, дающие диагонали длиной $d_1$ и $d_2$);
- проверьте, что соответствующие отрезки пересекаются внутри (чтобы многоугольник был выпуклым);
- найдите в пересечении $O$ отрезки $x,x^{\prime },y,y^{\prime }$ и угол $\theta$;
- подставьте в формулу выше — если равенство выполняется (с учётом случая $S=180^{\circ }$), то требуемый выпуклый четырёхугольник существует; иначе — не существует.
Замечания:
- степени свободы согласуются: длины диагоналей и $S$ в общем задают совместимые данные не единственным образом, но проверка сводится к приведённому уравнению.
- при заданных только длин диагоналей и $S$ можно иногда получить бесконечно много невырожденных многоугольников (параметр остаётся), но для фиксированного набора четырёх точек условие сводится к проверке указанного соотношения.