Формулировка (теорема Чевы для тетраэдра). Пусть $ABCD$ — тетраэдр. На противоположных гранях возьмём точки
$$A_1\in BCD,B_1\in ACD,C_1\in ABD,D_1\in ABC,$$ и обозначим через $[XYZ]$ площадь треугольника $XYZ$. Тогда прямые $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1,D{D}_1$ имеют общую точку тогда и только тогда, когда
$$\frac{[A_{1}BC]}{[A_{1}CD]}\cdot \frac{[B_{1}CD]}{[B_{1}DA]}\cdot \frac{[C_{1}DA]}{[C_{1}AB]}\cdot \frac{[D_{1}AB]}{[D_{1}BC]}=1.$$
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть прямые пересекаются в точке $P$. Введём (нормированные) объёмы
$$\alpha =\frac{\mathrm{Vol}(PBCD)}{\mathrm{Vol}(ABCD)},\beta =\frac{\mathrm{Vol}(APCD)}{\mathrm{Vol}(ABCD)},\gamma =\frac{\mathrm{Vol}(ABPD)}{\mathrm{Vol}(ABCD)},\delta =\frac{\mathrm{Vol}(ABCP)}{\mathrm{Vol}(ABCD)}.$$ Тогда $\alpha +\beta +\gamma +\delta =1$. Точка $A_1=AP\cap$ плоскость $BCD$ на этой плоскости имеет барицентрические координаты, пропорциональные $(\beta ,\gamma ,\delta )$ относительно вершин $B,C,D$. Следовательно, площади малых треугольников на грани $BCD$ удовлетворяют
$$\frac{[A_{1}BC]}{[A_{1}CD]}=\frac{\delta }{\beta }.$$ Аналогично для остальных граней получаем
$$\frac{[B_{1}CD]}{[B_{1}DA]}=\frac{\alpha }{\gamma },\frac{[C_{1}DA]}{[C_{1}AB]}=\frac{\beta }{\delta },\frac{[D_{1}AB]}{[D_{1}BC]}=\frac{\gamma }{\alpha }.$$ Домножая четыре равенства, правые части дают $\frac{\delta }{\beta }\cdot \frac{\alpha }{\gamma }\cdot \frac{\beta }{\delta }\cdot \frac{\gamma }{\alpha }=1$, отсюда получается требуемое произведение площадей равно $1$.
2) Достаточность. Предположим, что данное произведение равно $1$. Тогда можно выбрать положительные числа $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ (за скалярный множитель неважно), такие что
$$\frac{\delta }{\beta }=\frac{[A_{1}BC]}{[A_{1}CD]},\frac{\alpha }{\gamma }=\frac{[B_{1}CD]}{[B_{1}DA]},\frac{\beta }{\delta }=\frac{[C_{1}DA]}{[C_{1}AB]},\frac{\gamma }{\alpha }=\frac{[D_{1}AB]}{[D_{1}BC]}.$$ (Совместность этих соотношений гарантируется условием произведения $=1$.) Возьмём точку $P$ с барицентрическими координатами $(\alpha :\beta :\gamma :\delta )$ относительно тетраэдра $ABCD$ (то есть такие, что объёмы тетраэдров с вершиной $P$ пропорциональны $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ соответственно). Тогда по рассуждению из части 1) на грани $BCD$ точка пересечения $AP$ с этой гранью имеет отношение площадей $[\cdot ]$ равное $\delta /\beta$, поэтому совпадает с данным $A_1$. Аналогично для трёх остальных граней. Значит все четыре прямые проходят через одну и ту же точку $P$.
Таким образом, условие с произведением площадей является необходимым и достаточным для конкурентности четырёх «чеваевых» прямых в тетраэдре.
Заметки. При необходимости все площади и объёмы можно считать ориентированными — тогда формула и доказательство остаются верными для произвольного расположения точек (включая вырожденные знаки).