Пусть фокусы $F_1,F_2$ лежат в точках $(-c,0)$ и $(c,0)$. Рассмотрим множество точек $P(x,y)$, для которых разность расстояний до фокусов постоянна:
∣ PF1−PF2 ∣=2a. \big|\;PF_1-PF_2\;\big|=2a.
PF1 −PF2 =2a. Без потери общности берем $P{F}_1-P{F}_2=2a$. Тогда
$$\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}-\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}=2a.$$ Возводя в квадрат и упрощая, получаем обычное уравнение гиперболы:
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=c^2-a^2.$$ Следовательно, при $0<a<c$ геометрическое место — две ветви гиперболы с фокусами $F_1,F_2$. Частные случаи:
- $a=0$: $|P{F}_1-P{F}_2|=0$ даёт точечно равные расстояния — срединный перпендикуляр к отрезку $F_1{F}_2$ (прямая).
- $a=c$: разность равна расстоянию между фокусами, множество вырождается в два луча на оси $x$ вне отрезка между фокусами.
- $a>c$: решений нет (реальная кривая отсутствует).
Связь с коническими сечениями: множество точек с постоянной разностью расстояний до двух фокусов — это гипербола (коническое сечение). Для сравнения: сумма расстояний до фокусов = const даёт эллипс; отношение расстояния до фокуса и до директрисы = константа $e$ даёт конику с эксцентриситетом $e$ (для гиперболы $e=\frac{c}{a}>1$, для эллипса $e<1$, для параболы $e=1$).