Формулировки:
- Геометрическая: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.
- Алгебраическая: для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ выполнено $a^2+b^2=c^2$.
Доказательства (кратко, с пояснениями).
1) Векторное (через скалярное произведение).
Пусть стороны, выходящие из прямого угла, заданы векторами $u,v$ и $u\perp v$. Тогда вектор гипотенузы $w=u+v$ и
$$\Vert w{\Vert }^2=(u+v)\cdot (u+v)=\Vert u{\Vert }^2+2u\cdot v+\Vert v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2,$$ поскольку $u\cdot v=0$. Подставив $\Vert u\Vert =a,\Vert v\Vert =b,\Vert w\Vert =c$, получаем $a^2+b^2=c^2$.
2) Координатный (аналитический).
Поместим прямой угол в начало координат, катеты вдоль осей: точки $O=(0,0),A=(a,0),B=(0,b)$. Длина гипотенузы
$$c=|AB|=\sqrt{(a-0{)}^2+(0-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2},$$ отсюда $c^2=a^2+b^2$.
3) Через подобие треугольников (классическое синтетическое).
В треугольнике $ABC$ с прямым углом в $C$ опустим высоту $CD$ на гипотенузу $AB$. Треугольники $ABC,ACD,CBD$ попарно подобны, давая соотношения
$$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow A{C}^2=AD\cdot AB,\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow B{C}^2=BD\cdot AB.$$ Суммируя: $A{C}^2+B{C}^2=(AD+BD)\cdot AB=A{B}^2$, то есть $a^2+b^2=c^2$.
Связь геометрической и алгебраической формулировок: площадь квадрата со стороной $x$ равна $x^2$. Поэтому утверждение «площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах» эквивалентно алгебраическому $c^2=a^2+b^2$.
Когда какой подход полезен:
- Векторный/скалярное произведение: удобно при обобщениях в евклидовых пространствах любой размерности, при работе с проекциями, при доказательствах, где важна ортогональность и линейность (линейная алгебра, физика, компьютерная графика).
- Координатный: удобен для вычислений, задач аналитической геометрии, при задании координат фигур, при получении явных формул расстояний и проверке равенств.
- Подобие треугольников (синтетический): полезно в чисто геометрических задачах, при построениях, задачах с высотой на гипотенузу, в решениях олимпиадного стиля и при выводе свойств геометрических средних (геометрическое/арифметическое среднее и т. п.).
Каждый метод дает ту же теорему, но выбор зависит от контекста: для вычислений — координаты/векторы, для чистой геометрии и интуиции — подобие.