Короткий ответ: в любом (в том числе остром) треугольнике центроид $G$, ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$ лежат на одной прямой — прямой Эйлера — и при этом
$$OH=3OG,OG:GH=1:2,$$ то есть $G$ делит отрезок $OH$ в отношении $1:2$ (ближе к $O$).
Доказательство (векторное, очень кратко). Возьмём центр описанной окружности $O$ за начало координат и положим $a=OA,b=OB,c=OC$. Тогда $|a|=|b|=|c|=R$. Ортоцентр $H$ определяется пересечением высот, следовательно векторы удовлетворяют условиям перпендикулярности, из которых (приняв подходящую пару уравнений и вычитая) получаем
$$h=a+b+c.$$ Центроид есть среднее трёх вершин, значит
$$g=\frac{1}{3}(a+b+c).$$ Отсюда $h=3g$, а значит $OH=3OG$ и указанное соотношение выполнено; все три точки коллинеарны.
Зависимость расположения при изменении углов (качественно):
- Центроид $G$ всегда лежит внутри треугольника.
- Если все углы острые, то и $O$, и $H$ находятся внутри треугольника; порядок на прямой Эйлера: $O$ — $G$ — $H$.
- При прямом треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла, центр описанной окружности — с серединой гипотенузы; всё равно $O,G,H$ коллинеарны и $G$ между ними.
- При тупом треугольнике и $O$, и $H$ оказываются вне треугольника (с разных сторон от некоторых вершин), но отношение $OG:GH=1:2$ сохраняется, то есть $G$ всё равно лежит на отрезке $OH$.
Дополнительно (формула расстояния): расстояние $OH$ связано с радиусом описанной окружности $R$ и углами через формулу Эйлера
$$O{H}^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C),$$ что показывает, как меняется длина $OH$ при изменении углов (например, при переходе в тупой случай произведение косинусов становится отрицательным и $OH$ возрастает).