Обозначим так: основание — равнобедренный треугольник $△ABD$ с основанием $AB$ и вершиной $D$; вершина вне плоскости основания — $C$. Пусть $M$ — середина $AB$, $H$ — проекция $C$ на плоскость основания (т. е. основание высоты из $C$), и $\Pi$ — плоскость, проходящая через высоту $CH$ и точку $M$. Тогда:
1) Форма сечения.
- $\Pi$ пересечёт тетраэдр по треугольнику $△CMP$, где $P$ — вторая точка пересечения прямой $HM$ (линии пересечения $\Pi$ с плоскостью основания) с границей $△ABD$ (одним из боковых рёбер основания).
- Точка $H$ лежит на отрезке $MP$, и в плоскости $\Pi$ отрезок $CH$ перпендикулярен $MP$, т.к. $CH$ перпендикулярен всей плоскости основания. Значит в $△CMP$ отрезок $CH$ — высота на сторону $MP$.
2) Полезные соотношения (для вычисления объёма).
- Площадь сечения:
$$S_{\text{sect}}=S_{△CMP}=\frac{1}{2}MP\cdot CH.$$ - Объём тетраэдра (стандартно через площадь основания и высоту):
$$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{base}}\cdot CH,S_{\text{base}}=S_{△ABD}.$$ Из первой формулы можно выразить
$$CH=\frac{2S_{\text{sect}}}{MP},$$ подставить во вторую и получить
$$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{base}}\cdot \frac{2S_{\text{sect}}}{MP}=\frac{2S_{\text{base}}{S}_{\text{sect}}}{3MP}.$$ Это даёт общий метод: измерить (или вычислить) длину $MP$ и площадь сечения $S_{\text{sect}}$, найти площадь основания $S_{\text{base}}$ из данных об изосceles-треугольнике, затем вычислить $CH$ и $V$.
3) Частный симметричный случай.
Если проекция $H$ лежит на оси симметрии треугольника основания (т. е. $HM$ проходит через вершину $D$), то $P=D$ и сечение $△CDM$ — симметричное. Тогда
$$S_{\text{base}}=\frac{1}{2}AB\cdot DM,S_{\text{sect}}=\frac{1}{2}DM\cdot CH,$$ откуда $DM\cdot CH=2S_{\text{sect}}$ и
$$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{base}}\cdot CH=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}AB\cdot DM\cdot CH=\frac{AB{S}_{\text{sect}}}{3}.$$ Этот вариант упрощает вычисления, если ось симметрии известна.
Краткий алгоритм для вычисления объёма по сечению: найти в сечении $MP$ и площадь $S_{\text{sect}}$; вычислить $CH=\frac{2S_{\text{sect}}}{MP}$; затем взять $S_{\text{base}}$ (по геометрии равнобедренного основания) и подставить в $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{base}}CH$.