Алгоритм (алгебраико‑геометрический) и обоснование.
1) Необходимое условие существования: длины медиан $m_a,m_b,m_c>0$ должны образовывать треугольник (то есть удовлетворять неравенствам треугольника). Это условие необходимо; далее покажем, как проверить и построить треугольник.
2) Связь медиан со сторонами (Апполоний): для сторон $a=BC,b=CA,c=AB$ имеем
$$4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2,4m_b^2=2c^2+2a^2-b^2,4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2.$$ Решая эту систему, получаем явные формулы для квадратов сторон:
$$a^2=\frac{4}{9}(-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2),$$ $$b^2=\frac{4}{9}(2m_a^2-m_b^2+2m_c^2),$$ $$c^2=\frac{4}{9}(2m_a^2+2m_b^2-m_c^2).$$
3) Проверка существования в числовом виде: вычислите правые части. Треугольник существует тогда и только тогда, когда все три выражения положительны и после извлечения корней длины $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам треугольника $a<b+c,b<c+a,c<a+b$. (При соблюдении первоначального условия о том, что $m_a,m_b,m_c$ сами могут образовать треугольник, эти проверки обычно выполняются; в частности формулы дают положительные квадраты для невырожденного случая.)
4) Построение: вычислив $a,b,c$, постройте обычным способом треугольник со сторонами $a,b,c$ (отрезок длины $c$, затем на концах дуги радиусов $a$ и $b$ и т.д.). Полученный треугольник имеет заданные медианы (проверка: по формулам Апполония).
Единственность решения:
- По формулам выше квадраты сторон выражаются однозначно через квадраты медиан, следовательно стороны определяются однозначно (с точностью до переименования вершин и движений плоскости). Значит треугольник при данных трёх медианах единствен (с точностью до конгруэнции).
Устойчивость при погрешностях измерений:
- Погрешности в медианах переводятся в погрешности в квадратах сторон по линейной формуле. Для малых приращений $\delta m_a,\delta m_b,\delta m_c$ имеем (приближённо)
$$\delta (a^2)=\frac{8}{9}(-m_a\delta m_a+2m_b\delta m_b+2m_c\delta m_c),$$ и соответственно
$$\delta a\approx \frac{\delta (a^2)}{2a}.$$ Отсюда оценка
$$|\delta a|\le \frac{4}{9a}(m_a|\delta m_a|+2m_b|\delta m_b|+2m_c|\delta m_c|).$$ Если относительные погрешности одинаковы: $|\delta m_i|\le \epsilon m_i$, то
$$\frac{|\delta a|}{a}\le \frac{4\epsilon }{9a^2}(m_a^2+2m_b^2+2m_c^2).$$ Используя выражение для $a^2$, видно, что чувствительность тем выше, чем меньше $a$ (или при приближении треугольника к вырождению). Следовательно построение устойчиво при малых относительных погрешностях и «хорошо обусловлено», если стороны не слишком малы по отношению к медианам; вблизи вырожденного случая (одна сторона ≈0 или одна из формул даёт малое значение) задача становится плохо обусловленной и небольшие погрешности медиан могут давать большие относительные погрешности сторон.
Короткая итоговая схема:
- Проверьте треугольность $m_a,m_b,m_c$.
- Вычислите $a^2,b^2,c^2$ по формулам выше.
- Если все положительны и $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам треугольника, постройте треугольник со сторонами $a,b,c$.
- Решение единственно; устойчивость хорошая при «нормальных» размерах, ухудшается при приближении к вырождению.