Кратко — формули, указания по доказательству (через триугольные случаи) и примеры применения в стереометрии.
1) Уточнение по знакам. Всё ниже — с ориентированными отрезками (знак меняется, когда точка лежит на продолжении стороны).
2) Обобщённая теорема Менелая для n‑угольника. Пусть многоугольник (необязательно выпуклый) с вершинами $A_1,A_2,\dots ,A_n$ и прямая $\ell$ пересекает (возможно на продолжениях) прямые сторон $A_i{A}_{i+1}$ в точках $X_i$ (индексация по модулю $n$). Тогда
$$\prod _{i=1}^n\frac{A_i{X}_i}{X_i{A}_{i+1}}=(-1{)}^n.$$ Доказательство (эскиз). Разделим многоугольник диагоналями на $n-2$ треугольников, выберем последовательность треугольников так, чтобы каждая сторона $A_i{A}_{i+1}$ была стороной ровно одного из этих треугольников. Применяя теорему Менелая в каждом треугольнике (для одной и той же пересекающей прямой $\ell$) получаем соотношения вида $\frac{A_i{X}_i}{X_i{A}_{i+1}}$ и при перемножении всех этих равенств все внутренние дроби сокращаются, остаётся произведение по всем сторонам, равнощее $(-1{)}^{\#\text{треугольников}+1}=(-1{)}^n$. (Альтернатива: доказать индукцией по $n$, шаг индукции выполняется разрезанием многоугольника на треугольник и $(n-1)$-угольник и применением Менелая в треугольнике и предположения для $(n-1)$-угольника.)
3) Обобщённая теорема Чевы для n‑угольника. Пусть на многоугольник $A_1{A}_2\dots A_n$ взята точка $P$. Для каждого $i$ прямая $A_{i}P$ пересекает (возможно на продолжении) сторону $A_i{A}_{i+1}$ в точке $X_i$. Тогда условие, что все прямые $A_{i}P$ одновременно проходят через одну точку $P$ (то есть по построению — выполнено), эквивалентно (в терминах делений сторон) условию
$$\prod _{i=1}^n\frac{A_i{X}_i}{X_i{A}_{i+1}}=1.$$ Доказательство (эскиз). Разбиваем многоугольник на треугольники, например, «веером» от вершины $A_1$: треугольники $A_1{A}_2{A}_3,A_1{A}_3{A}_4,\dots ,A_1{A}_{n-1}{A}_n$. В каждом таком треугольнике применяем теорему Чевы (для трёх цев), получаем дроби, при умножении которых внутренние множители сокращаются, и остаётся ровно ${\prod }_{i=1}^n\frac{A_i{X}_i}{X_i{A}_{i+1}}=1$. Для невыпуклого случая та же конструкция работает при учёте ориентированных отрезков.
4) Примечание о знаках и положении точек. В невыпуклом случае некоторые точки пересечения могут лежать на продолжениях сторон; ориентированные отношения дают отрицательные значения, и формулы выше остаются верными при учёте знаков.
5) Где это полезно в стереометрии (кратко):
- При исследовании сечений многогранников плоскостью: плоскость пересекает рёбра или их продолжения, образуя многоугольник (иногда невыпуклый). Менелай даёт соотношения делений рёбер, полезные для вычисления отрезков и проверок копланарности или соотношений между пересечениями.
- При доказательствах коллинеарности либо конкуренции прямых в пространстве: проекции на плоскости или сечения плоскостью позволяют применить обобщённую Чеву/Менелая по граням многогранника.
- При решении задач о пересечениях диагоналей, цев в многогранниках, при вычислении барицентрических/отрезковых отношений в сечениях пирамид и призм.
- В приложениях к проективной геометрии: формулы с ориентированными отношениями инвариантны при проективных преобразованиях, что упрощает перенесение задач стереометрии в плоскость.
6) Заключение. Ключевые моменты: использовать ориентированные отрезки (чтобы корректно учитывать невыпуклость) и доказывать обобщения последовательным применением классических теорем Менелая и Чевы к треугольным частям многоугольника (или индукцией).