Коротко и по делу.
Обозначим уравнения прямых
$$L_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0,L_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0.$$ Введём ориентированные (signed) расстояния от точки $(x,y)$ до прямых:
$$s_i(x,y)=\frac{a_{i}x+b_{i}y+c_i}{\sqrt{a_i^2+b_i^2}}(i=1,2).$$
1) Если брать ориентированные расстояния, то обе функции — сумма и разность — линейны:
$$s_1-s_2=k,s_1+s_2=K$$ есть линейные уравнения (прямые). В частности $s_1-s_2=0$ даёт одну биссектрису угла между прямыми, $s_1+s_2=0$ — другую (в зависимости от выбора знаков).
2) Если брать обычные (неотрицательные) расстояния $r_i=|s_i|$, то из уравнения вида разности или суммы получаем набор кусочно-линейных уравнений, т.е. совокупность прямых или их частей. Формально из
$$r_1-r_2=k$$ выплывают варианты с разными знаками: $\pm s_1\pm s_2=k$. В результате геометрическое место — объединение не более чем четырёх прямых (в практических ситуациях — двух прямых или линий/полуплоскостей), причём конкретная конфигурация зависит от взаимного расположения исходных прямых и величины константы $k$. Аналогично для суммы $r_1+r_2=K$ — тоже объединение кусочно-линейных компонентов; для пересекающихся прямых случай равенства $r_1=r_2$ даёт две биссектрисы.
Замечание для сравнения: это сильно отличается от задачи для расстояний до двух точек, где разность даёт гиперболу, а сумма — эллипс. Здесь (для прямых) в ориентированном варианте и разность, и сумма — прямые; в неориентированном — объединения прямых/полуплоскостей в зависимости от знаков.