Пусть прямая — $L$, радиус окружностей — $r$, замкнутая кривая — $C$. Центр окружности $O$ должен одновременно удовлетворять
$$\mathrm{dist}(O,L)=r\text{и}\mathrm{dist}(O,C)=r.$$ Следовательно геометрическое место центров — пересечение множества точек на расстоянии $r$ от $L$ и множества точек на расстоянии $r$ от $C$:
$$\{O:\mathrm{dist}(O,L)=r\}\cap \{O:\mathrm{dist}(O,C)=r\}.$$
Интерпретация:
- $\{O:\mathrm{dist}(O,L)=r\}$ — одна или две прямые, параллельные $L$, на расстоянии $r$ (берётся только та сторона, где расположены окружности).
- $\{O:\mathrm{dist}(O,C)=r\}$ — $r$-параллельные кривые к $C$ (внешняя и/или внутренняя смещения; при малом радиусе кривизны $C$ такие параллели могут иметь касания и cusp’ы).
Итак: искомое геометрическое место центров — точки пересечения соответствующей параллели к прямой $L$ с $r$-параллельной(ми) кривой(ми) к $C$. Возможные вырожденные случаи: пересечений может не быть, быть конечное число точек, касательные точки (кратные) или локальные самопересечения параллели к $C$.