Формулировки.
1) Угловой критерий. Квадратурник $ABCD$ выпуклый вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны $\pi$:
$$ABCD\text{вписан}⟺\angle A+\angle C=\pi (\text{и тогда}\angle B+\angle D=\pi ).$$
2) Критерий через произведения отрезков (теорема Птолемея и её обратная). Для выпуклого $ABCD$ $$ABCD\text{вписан}⟺AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$
Доказательства (кратко).
I. Угловой критерий.
(=>) Если $A,B,C,D$ лежат на одной окружности (в порядке обхода), то по теореме о вписанном угле каждый из углов равен половине соответствующей дуги. Углы $\angle A$ и $\angle C$ опираются на дополнительные дуги, сумма этих дуг равна полной окружности, поэтому
$$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}(\text{дуга}BD)+\frac{1}{2}(\text{дуга}BD)=\pi .$$
(<=) Пусть $\angle A+\angle C=\pi$. Возьмём окружность, проходящую через три точки $A,B,C$. На этой окружности все точки $X$ на дуге $AC$ дают одинаковый вписанный угол $\angle AXC=\angle ABC$. Покажем, что $D$ лежит на этой окружности: из $\angle A+\angle C=\pi$ следует, что угол, который хорда $AC$ видна из точки $D$, равен $\angle ADC=\angle ABC$ (обычным угловым счётом в четырёхугольнике либо через свойства смежных и дополнительных углов). Значит $D$ даёт тот же вписанный угол на дугу $AC$, что и $B$, следовательно $D$ лежит на той же окружности. Таким образом точки $A,B,C,D$ концентричны.
II. Критерий Птолемея.
(=>) Пусть $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R$. По формуле для длины хорды через вписанный угол,
$$AB=2R\sin \angle ACB,BC=2R\sin \angle BAD,CD=2R\sin \angle BAC,AD=2R\sin \angle BCD,$$ и аналогично для диагоналей. Подставив и воспользовавшись тем, что в вписанном четырёхугольнике противолежащие углы суммируются до $\pi$ (значит некоторые синусы равны), получаем
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$ (Классическая краткая реализация — через закон синусов в треугольниках, получаем выражения хорд через синусы и сокращаем общий множитель $4R^2$.)
(<=) Обратное: если для выпуклого $ABCD$ выполнено
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$ то из этой алгебраической равности строят соответствующее подобие треугольников (обычно берут точку $E$ на луче $AB$ такую, что $BE=\frac{AB\cdot CD}{AC}$ и показывают, что треугольники $EBC$ и $DAC$ подобны), откуда следует равенство соответствующих углов, а значит $\angle ABC=\angle ADC$ и точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности. Это даёт обратность Птолемея.
Замечание. Оба критерия эквивалентны и часто применяются: угловый — удобен для доказательств с углами, Птолемей — для соотношений длин.