Краткое сравнение подходов
- Геометрия комплексных чисел: идея — отождествить точки с комплексными числами, часто удобнее взять окружность за единичную ($|z|=1$). Сильна при множествах тождеств, использует сопряжение $\bar{z}$ и алгебраические преобразования; компактна, но может требовать аккуратной алгебры и интуиция над геометрией теряется.
- Векторы (скалярное/векторное произведения): идея — работать с положениями точек через векторы, применять скалярное/векторное произведение и квадраты расстояний. Хорошо для одинаковых длины/перпендикулярности/правил параллелограмма; геометрические интерпретации прозрачны, доказательства часто короче и элементарны.
- Координатная геометрия: идея — задать явные координаты (обычно удобно: центр окружности в начале координат или поместить точки через углы на единичной окружности). Превосходит в численных проверках и выводе формул (например, площади), но может быть громоздкой по алгебре.
Примеры (по одному нетривиальному для каждого метода)
1) Комплексные числа — Ptolemy для вписанного четырёхугольника.
Утверждение: для вписанного $ABCD$ выполняется
$$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD.$$ Доказательство (схема). Положим окружность единичной и обозначим точки комплексными числами $a,b,c,d$ с $|a|=|b|=|c|=|d|=1$. Тогда длины хорд выражаются через комплексы: $|a-b{|}^2=(a-b)(\bar{a}-\bar{b})=(a-b)(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})=-\frac{(a-b{)}^2}{ab}$ и т.п. Положив исходное равенство и возведя в квадрат, подставив $\bar{x}=1/x$, сводим его к алгебраическому тождеству в $a,b,c,d$. Конкретно после упрощений получается эквивалентное тождество
$$(a-b)(c-d)\overline{(a-b)(c-d)}+(b-c)(d-a)\overline{(b-c)(d-a)}=(a-c)(b-d)\overline{(a-c)(b-d)},$$ что равносильно исходному Ptolemy. (Вычисления — стандартная алгебра на единичной окружности.)
Замечание: комплексный подход даёт компактные аналитические доказательства Ptolemy и его обобщений (кросс-отношения и т.п.).
2) Векторы — условие перпендикулярности диагоналей через суммы квадратов сторон.
Утверждение: для любого четырёхугольника $ABCD$ $$AC\perp BD⟺A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+D{A}^2.$$ Доказательство. Обозначим векторы положений точек через $a,b,c,d$. Тогда легко расписывается разность сумм квадратов:
$$A{B}^2+C{D}^2-(B{C}^2+D{A}^2)=\Vert b-a{\Vert }^2+\Vert d-c{\Vert }^2-\Vert c-b{\Vert }^2-\Vert a-d{\Vert }^2.$$ Развернув квадраты и сократив, получаем (простая алгебра векторов)
$$A{B}^2+C{D}^2-(B{C}^2+D{A}^2)=2(a-c)\cdot (b-d)=2AC\cdot BD.$$ Отсюда $AC\perp BD$ тогда и только тогда, когда разность сумм равна нулю, что и требовалось. Этот векторный приём даёт прозрачную интерпретацию и короткое доказательство.
3) Координатная геометрия — Ptolemy через координаты на окружности (тригонометрический вариант).
Утверждение: для вписанного $ABCD$ выполняется Ptolemy (см. выше).
Доказательство. Поместим окружность радиуса $1$ в начало координат и зададим точки углами: $A=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$, $B=(\cos \beta ,\sin \beta )$, $C=(\cos \gamma ,\sin \gamma )$, $D=(\cos \delta ,\sin \delta )$. Тогда длина хорды
$$AB=2\sin \frac{\alpha -\beta }{2},$$ и аналогично для других сторон. Подстановка в равенство Ptolemy даёт эквивалентность тригонометрического тождества
$$\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\sin \frac{\gamma -\delta }{2}+\sin \frac{\beta -\gamma }{2}\sin \frac{\delta -\alpha }{2}=\sin \frac{\alpha -\gamma }{2}\sin \frac{\beta -\delta }{2},$$ которое проверяется стандартными формулами приведения и суммой/разностью синусов (или формулами произведений в суммы). Это завершает доказательство. Координатный подход удобен, когда можно явно выразить расстояния через углы или координаты и затем применить известные тождества.
Краткое резюме: комплексный метод — мощен для алгебраических тождеств на окружности; векторный — прозрачен для вопросов перпендикулярности и равенств квадратов длин; координатный — универсален для явных вычислений и сводит геометрию к тригонометрии/алгебре.