Коротко: если третья вершина движется по прямой BC (то есть все три точки коллинеарны), то треугольник вырождается — внутренний центр (инцентр) как пересечение биссектрис углов перестаёт быть корректно определённым, а описанный центр (центр окружности, проходящей через три вершины) «уходит в бесконечность» (пересечения серединных перпендикуляров не имеют общего конечного пересечения). Рассмотрим точнее поведение как предельный случай, когда вершина A = (x,h) стремится к прямой BC (h → 0), при заданных фиксированных B и C.
Удобно положить B=(0,0), C=(1,0), A=(x,h), h→0+. Тогда длины сторон
$$a=|BC|=1,b=|CA|=\sqrt{(x-1{)}^2+h^2},c=|AB|=\sqrt{x^2+h^2}.$$ Координаты инцентра задаются взвешенным средним вершин:
$$I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}.$$ Отсюда абсцисса инцентра
$$I_x=\frac{ax+c\cdot 1+b\cdot 0}{a+b+c}=\frac{1\cdot x+c}{1+b+c}.$$ При h→0 имеем $b\to |x-1|,c\to |x|$. Следовательно
- если $x\in (0,1)$ (проекция A лежит между B и C), то
$$I_x\to \frac{2x}{2}=x,$$ то есть инцентр стремится к проекции A на BC (точке $(x,0)$);
- если $x\le 0$, то $I_x\to 0$ (инцентр стремится к B);
- если $x\ge 1$, то $I_x\to 1$ (инцентр стремится к C).
Таким образом инцентр остаётся конечным и при вырождении треугольника «сливается» с проекцией движущейся вершины на BC (или с ближайшей фиксированной вершиной, если проекция лежит вне отрезка BC).
Поведение описанного центра. Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров к сторонам. Серединный перпендикуляр к BC фиксирован (проходит через середину BC и перпендикулярен BC). Серединные перпендикуляры к AB и AC при h→0 становятся параллельны этому направлению и их пересечение уходит на бесконечность в направлении, перпендикулярном BC. В координатной модели пересечение имеет абсциссу, стремящуюся к середине BC (0.5), а ординату, растущую как const/h → ±∞. Иначе говоря, описанный центр уходит в бесконечность вдоль перпендикуляра к BC (нет конечного предела).
Итог:
- при точном положении A на прямой BC треугольник вырожден, инцентр и центр описанной окружности не определены в обычном (конечном) смысле;
- как предельный случай из невырожденных треугольников при A→BC: инцентр имеет конечный предел (проекция A на BC или ближайшая из B,C), а центр описанной окружности стремится в бесконечность по направлению, перпендикулярному BC.