Собственное значение и собственный вектор для матрицы преобразования объясняются уравнением
$$Av=\lambda v,$$ где $A$ — $2\times 2$ матрица, $v\ne 0$ — собственный вектор и $\lambda$ — собственное значение. Геометрически это значит: направление линии, натянутой вдоль $v$, сохраняется (линия инвариантна), а все точки на этой линии растягиваются/сжимаются в $\lambda$ раз (и меняют/сохраняют ориентацию в зависимости от знака $\lambda$).
Ключевые случаи и интуиция:
- Два различных действительных собственного значения ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$: две разные инвариантные прямые (направления собственных векторов). В базисе этих векторов $A$ диагональна $\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)$ — чистое растяжение/сжатие вдоль двух осей.
- Кратный собственный корень, два независимых вектора: аналогично скалированию по двум одинаковым факторам (возможно поворот отсутствует) — $A$ скалярная по форме $\lambda I$.
- Кратный, но один собственный вектор (недиагонализуемая матрица, Жорданова клетка): пример «сдвиг» (shear). В базисе
$$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)$$ имеет одну инвариантную линию (направление собственного вектора) и вызывает параллельный сдвиг вдоль неё.
- Комплексно-сопряжённые собственные числа $\rho e^{\pm i\theta }$: нет реальных собственных векторов; геометрически — одновременное вращение на угол $\theta$ и масштабирование на $\rho$ (например, вращение при $\rho =1$).
- Нулевое собственное значение $\lambda =0$: есть ненулевой вектор $v$ переводящийся в ноль → сжатие плоскости по направлению к нулю, частичный коллапс (проекция на прямую или сжатие в точку).
- Знак и модуль: $\det A={\lambda }_1{\lambda }_2$ — объёмный (площадной) фактор; $\mathrm{tr}A={\lambda }_1+{\lambda }_2$. Отрицательный детерминант означает изменение ориентации (отражение + растяжение).
Примеры:
- Диагональная матрица $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)$: оси — собственные направления, коэффициенты $a,b$ — растяжения.
- Сдвиг $\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$: собственное значение $1$ (кратное), одна инвариантная ось $x$-ось — чистый сдвиг параллельно этой оси.
- Отражение относительно прямой: собственные значения $1$ и $-1$; одна линия не меняется, другая меняет направление.
- Вращение на угол $\theta$: собственные числа $e^{\pm i\theta }$ — нет реальных собственных векторов.
Как это помогает понимать аффинные преобразования:
- Любое аффинное преобразование имеет вид $x\mapsto Ax+b$. Линейная часть $A$ задаёт локальную деформацию: направления, которые сохраняются (собственные векторы), и коэффициенты растяжения/вложения (собственные значения).
- Разложив $A$ (диагонализация, жорданова форма, полярное разложение $A=QR$), можно видеть комбинацию вращений, отражений, растяжений и сдвигов — то, что реально делает аффинное преобразование, а перевод на базис собственных векторов даёт простую картину действия.
- Практически: по собственным значениям/векторам легко определить наличие отражений, сжатий, растяжений, сдвигов и коллапсов измерений, а по детерминанту — изменение площади и ориентации.
Это даёт компактный и визуальный способ классифицировать поведение преобразования в плоскости.