Коротко — почему важно и как обобщать через диагонали.
Почему теорема Брахмагупты важна для практических вычислений
- Для вписанного четырёхугольника с длинами сторон $a,b,c,d$ и полупериметром $s=\frac{a+b+c+d}{2}$ площадь даётся явной формулой
$$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$$ - Это аналог формулы Гера для треугольника: даёт площадь только по сторонам (без углов, диагоналей), что удобно в геодезии, картографии, CAD, вычислениях при ограниченных данных и для быстрого численного оценивания.
- Формула уменьшает вычислительную сложность и погрешности по сравнению с покомпонентными вычислениями через углы/векторы.
Обобщение на невписанные четырёхугольники (через углы и через диагонали)
1) Bretschneider — обобщение по сторонам и сумме противоположных углов:
- Для общего четырёхугольника с теми же сторонами $a,b,c,d$ и если $\alpha$ и $\gamma$ — два противоположных угла, то
$$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{\alpha +\gamma }{2}}.$$ - При вписанном четырёхугольнике $\alpha +\gamma =\pi$ => $\cos \frac{\alpha +\gamma }{2}=0$ и формула даёт Брахмагупту.
2) Через диагонали и угол между ними (наиболее практично):
- Если диагонали имеют длины $p$ и $q$, а угол между ними равен $\theta$, то площадь любогo (выпуклого) четырёхугольника равна
$$K=\frac{1}{2}pq\sin \theta .$$ Это простая и часто используемая формула (удобна, когда известны диагонали и их сквозной угол).
3) Практический способ при известной одной диагонали — разложение на два треугольника:
- Если известна диагональ $p$ (скажем, $AC$), то площадь равна сумме площадей треугольников $ABC$ и $CDA$. Для треугольника со сторонами $a,b,p$ и полупериметром $s_1=\frac{a+b+p}{2}$ площадь
$$K_{ABC}=\sqrt{s_1(s_1-a)(s_1-b)(s_1-p)},$$ а для второго треугольника с $c,d,p$ и $s_2=\frac{c+d+p}{2}$ $$K_{CDA}=\sqrt{s_2(s_2-c)(s_2-d)(s_2-p)}.$$ Тогда
$$K=K_{ABC}+K_{CDA}.$$ - Это очень практичный метод: при известных сторонах и одной диагонали даёт точную площадь без знания углов; если диагональ неизвестна, её можно определить численно (например, из расстояний или условий сопряжения).
Замечания по вычислениям
- Если известны только стороны, используйте Bretschneider (требует знания суммы противоположных углов) или дополняйте диагоналями/углами.
- Если известны диагонали и угол между ними — формула $K=\frac{1}{2}pq\sin \theta$ самая простая.
- Разложение через одну диагональ + две формулы Гера — удобное и надёжное численное решение для невписанных четырёхугольников.