Общее уравнение коники:
$$P(x,y)=A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$
Процедура приведения и смысл шагов:
1) Классификация по дискриминанту квадратичной части:
$$\Delta =B^2-4AC.$$ - $\Delta <0$ — эллипс (включая вырожденные: точка или пустое множество);
- $\Delta =0$ — парабола;
- $\Delta >0$ — гипербола.
Значение $\Delta$ определяет тип сечения квадратичной формы $A{x}^2+Bxy+C{y}^2$.
2) Перенос (удаление линейных членов) — нахождение центра (если он есть):
центр $(x_0,y_0)$ находится как решение системы частных производных
$$\frac{\partial P}{\partial x}=2Ax+By+D=0,\frac{\partial P}{\partial y}=Bx+2Cy+E=0.$$ Если система имеет решение, делаем замену
$$x=X+x_0,y=Y+y_0,$$ тем самым убираются члены первого порядка. Геометрический смысл: переносит начало координат в центр симметрии коники (для эллипса/гиперболы) — конус "перемещается" так, чтобы линейных сдвигов не было.
3) Поворот (удаление смешанного члена $XY$) — выравнивание главных осей:
поворот на угол $\phi$, где
$$\tan 2\phi =\frac{B}{A-C},$$ и замена
$$X=u\cos \phi -v\sin \phi ,Y=u\sin \phi +v\cos \phi .$$ После поворота квадратичная часть диагонализуется: исчезает смешанный член, остаётся вид $A^{\prime }{u}^2+C^{\prime }{v}^2$. Геометрически: поворот выравнивает систему координат вдоль собственных направлений квадратичной формы (главных осей коники).
4) Нормировка (масштабирование) — приведение к стандартному каноническому виду:
- Эллипс: $\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1$ (параметры $a,b$ — полуоси).
- Гипербола: $\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1$ (или с минусом в первой дроби).
- Парабола: $v^2=2pu$ или $u^2=2pv$ (параметр $p$ — фокусное расстояние).
Нормировка состоит в делении уравнения на константу и/или введении масштаба для получения единицы справа. Геометрический смысл: получение численных параметров (полуосей, фокусного расстояния), задающих форму и размеры коники.
5) Проверка вырожденных случаев:
после приведения может получиться, например, сумма квадратов равна отрицательной константе (пустое множество), или произведение линейных множителей (пара прямых). Такие случаи отражают вырождение коники.
Пример (реальный, простой):
Возьмём
$$4x^2+9y^2-24x+36y+36=0.$$ 1) Здесь $B=0$, значит поворот не нужен; $\Delta =0^2-4\cdot 4\cdot 9=-144<0$ — эллипс.
2) Находим центр из
$$8x-24=0,18y+36=0⟹x=3,y=-2.$$ Подставим $x=X+3,y=Y-2$:
$$4(X+3{)}^2+9(Y-2{)}^2-24(X+3)+36(Y-2)+36=0.$$ После раскрытия скобок и сокращения получаем
$$4X^2+9Y^2-36=0⟹\frac{X^2}{9}+\frac{Y^2}{4}=1.$$ 3) Канонический вид: эллипс с полуосями $a=3,b=2$, центр в $(3,-2)$. Геометрически: перевели систему в центр коники (шаг 2), поворот не потребовался (шаг 3), нормировка дала численные полуоси (шаг 4).
Эти четыре шага (классификация, перенос, поворот, нормировка) — стандартная процедура приведения уравнения коники к каноническому виду; каждый шаг имеет ясный геометрический смысл: тип, центр, направление осей, размеры.