Кратко и по делу.
1) Определение и общий критерий. Пусть векторальное пространство конечной размерности снабжено симметричной невырожденной билинейной формой $g(\cdot ,\cdot )$ (матрица в базисе $G$). Для ненулевого вектора $a$ линия $L=\mathrm{span}\{a\}$. Ортопроекция (т.е. проекция по $g$-ортогональному дополнению) на $L$ существует и единственна тогда и только тогда, когда линия не изотропна:
$$g(a,a)\ne 0.$$ В этом случае для любого $x$ раскладывается $x=\lambda a+n$ с $n\in L^{\perp }$, и
$$\lambda =\frac{g(x,a)}{g(a,a)},P(x)=\frac{g(x,a)}{g(a,a)}a.$$ Матрица оператора в выбранном базисе:
$$P=\frac{a(a^{\top }G)}{a^{\top }Ga}.$$ Проверки: $P^2=P$ и $g(Px,y)=g(x,Py)$ (т. е. $P$ самосопряжён относительно $g$).
2) Когда проекция «по нормали» совпадает с ортопроекцией. Под «проекцией по нормали» понимается проекция на $L$ вдоль некоторого направления $n$ (ядро = $\mathrm{span}\{n\}$). Такая проекция совпадёт с ортопроекцией тогда и только тогда, когда направление проецирования лежит в $g$-ортогональном дополнении:
$$n\in L^{\perp }⟺g(a,n)=0.$$ При этом, чтобы ортопроекция была определена (разложение $V=L\oplus L^{\perp }$), требуется $g(a,a)\ne 0$. Если $g(a,a)=0$ (нулевая/изотропная линия), то $L\subset L^{\perp }$ и ортогонального дополнения, дающего прямую сумму, нет — ортопроекция в смысле разложения по ортогональному дополнению не существует.
3) Сравнение: евклидическая vs псевдоевклидическая метрики.
- Евклидическая метрика ($G=I$, положительно определена): все ненулевые векторы неизотропны ($a^{\top }a>0$), поэтому ортопроекция на любую линию всегда существует и задаётся классической формулой
$$P=\frac{a{a}^{\top }}{a^{\top }a},P(x)=\frac{⟨x,a⟩}{⟨a,a⟩}a.$$ Направление нормали однозначно (до множителя) и равно $a$-перпендикулярному вектору.
- Псевдоевклидическая метрика (неположительно определённая, сигнатура $(p,q)$): формула ортопроекции та же при $g(a,a)\ne 0$:
$$P(x)=\frac{g(x,a)}{g(a,a)}a,P=\frac{a(a^{\top }G)}{a^{\top }Ga}.$$ Отличия:
- Возможны изотропные (нулевые) векторы с $g(a,a)=0$; для них ортопроекция отсутствует (нет прямой суммы $L\oplus L^{\perp }$).
- Ортогональность и «нормаль» зависят от знака/типа вектора (timelike/spacelike); направление нормали может быть «времеподобным» или «пространственно-подобным».
- Оператор $P$ по-прежнему $g$-самосопряжён, но не обязательно положительно определён в обычном смысле; в частности компоненты могут иметь «негативную длину».
4) Выводы (сжатые).
- Проекция на линию является проекцией по нормали precisely тогда, когда направление проецирования принадлежит $g$-ортогональному дополнению целевой линии: $g(a,n)=0$.
- В евклидовой метрике ортопроекция всегда есть и совпадает с проекцией по нормали; в псевдоевклидовой — та же формула работает для ненулевых (неизотропных) линий, но изотропные линии разрушают возможность ортогонального разложения, и поведение проекций зависит от типа векторов и сигнатуры формы.
Если нужно, могу привести отдельный пример в координатах (евклид и псевдоевклид) и показать вычисления.