Пусть в треугольнике $ABC$ точки $D,E,F$ — середины сторон $BC,CA,AB$ соответственно, а медианы $AD,BE,CF$ пересекаются в центре тяжести (центроиде) $G$.
1) Известно (и легко доказывается через подобие или координаты), что центроид делит медианы в отношении
$$AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1.$$
2) Поскольку $D$ — середина $BC$, то медиана $AD$ делит площадь треугольника пополам:
$$S_{ABD}=S_{ADC}=\frac{1}{2}{S}_{ABC}.$$ Точка $G$ лежит на $AD$ и $AG/AD=\frac{2}{3}$, следовательно площадь треугольника $ABG$ равна
$$S_{ABG}=\frac{AG}{AD}{S}_{ABD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.$$ Аналогично
$$S_{BCG}=S_{CAG}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.$$ То есть медианы, проходящие в центр тяжести, делят большой треугольник на три равновеликих треугольника (по площади).
3) Каждая из этих трёх частей затем делится медианой, идущей к соответствующей стороне, на два треугольника с общим высотами от $G$ и равными основаниями (потому что точка на стороне — её середина). Например, в треугольнике $ABG$ точка $F$ — середина $AB$, значит
$$S_{AGF}=S_{BGF}=\frac{1}{2}{S}_{ABG}=\frac{1}{6}{S}_{ABC}.$$ Аналогично для остальных пар. Итого получается шестеро треугольников по площади равных друг другу.
Ключевые идеи, лежащие в основе таких разбиений:
- медиана делит площадь треугольника пополам (поскольку делит противоположную сторону пополам);
- если две фигуры имеют равные основания и общую высоту, то их площади равны;
- свойство центроида ($2:1$ на медианах) даёт равенство площадей трёх треугольников с вершинами в центре тяжести;
- удобные доказательства можно давать через координаты, векторные представления или метод «массы» (mass points) — все они используют линейность координат/площадей и равенство длин или частей сторон.