Кратко — основные свойства, формулы и способы построения.
Определения и углы
- Пусть $\alpha =\angle A,b=AC,c=AB,a=BC$.
- AP — биссектриса внешнего угла при $A$. Это значит, что AP делит внешний угол $180^{\circ }-\alpha$ пополам, т.е. угол между AP и (продолжением) лучей $AB$ и $AC$ равен
$$\frac{180^{\circ }-\alpha }{2}=90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}.$$
Соотношение длин (внешняя теорема биссектрисы)
- Точка $P$ лежит на прямой $BC$ (как правило — на продолжении стороны), и выполняется ориентированное соотношение
$$\frac{BP}{PC}=-\frac{AB}{AC}=-\frac{c}{b}.$$ Знак «−» означает внешнее деление отрезка $BC$ (точка $P$ не принадлежит отрезку $BC$, а находится на его продолжении).
- В явном виде (если $BP$ считаете положительным от $B$ в сторону $C$) можно записать
$$BP=\frac{ac}{c-b},PC=\frac{ab}{b-c},$$ что также показывает положение $P$:
- если $c>b$ (то есть $AB>AC$), то $BP>a$ и $P$ лежит за точкой $C$;
- если $c<b$, то $BP<0$ (то есть $P$ лежит за точкой $B$);
- если $b=c$, то получаем внешнее среднее деление ($|BP|=|PC|$).
Короткая доказательная схема (синусовая)
- В треугольниках $ABP$ и $APC$ по теореме синусов
$$\frac{BP}{\sin \angle BAP}=\frac{AB}{\sin \angle APB},\frac{PC}{\sin \angle PAC}=\frac{AC}{\sin \angle APC}.$$ Так как $\angle BAP=\angle PAC$ (AP биссектриса внешнего угла) и $\angle APB$ и $\angle APC$ — дополнительные, то $\sin \angle APB=\sin \angle APC$. Отсюда $\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}$ с учётом внешнего расположения даёт знак минус в ориентированном виде.
Возможные построения точки P
1. Непосредственно: через $A$ провести биссектрису внешнего угла (построить луч, делящий внешний угол при $A$ пополам) и пересечь её с прямой $BC$ (или её продолжением) — получим $P$.
2. Через деление отрезка в заданном отношении (конструирование внешнего деления): на прямой $BC$ построить точку, делящую $BC$ внешним образом в отношении $AB:AC$ (стандартная конструкция с использованием подобия или параллельных прямых/транспортировкой отрезков) — это и есть $P$.
3. Через окружность Апполония: построить окружность Апполония с параметром $\lambda =\frac{AB}{AC}$ (множество точек $X$ с $XB/XC=\lambda$); её пересечение с прямой $BC$ даёт две точки — одна соответствует внутреннему делению (для внутренней биссектрисы), другая — внешнему (наш $P$).
Особые случаи
- $AB=AC$: тогда $P$ даёт внешнее равное деление ($|BP|=|PC|$); биссектриса внешнего угла симметрична, точка $P$ расположена симметрично относительно середины $BC$ на продолжении.
- Если требуется работать в координатах, положив $B(0,0),C(a,0)$, то
$$BP=\frac{ac}{c-b},$$ и координата $P$ равна $(BP,0)$.
Это основные соотношения и способы построения для точки $P$, заданной условием, что $AP$ — биссектриса внешнего угла при $A$.