Для нахождения углов выпуклого четырехугольника, пропорциональных 1, 2, 4 и 5, можно воспользоваться теоремой деления отрезка во внутренней точке.

Пусть углы четырехугольника обозначены как A, B, C и D, пропорции их соотношения равны 1:2:4:5 соответственно. Тогда можно предположить следующий механизм:

Возьмем две внутренние точки M и N линии CD, такие, что MC:MD = 1:2 и ND:NC = 5:4.

Так как углы четырехугольника пропорциональны, то можно предположить, что угол A / угол C = MC/MD, а угол B / угол D = ND/NC.

Подставляем значения пропорций: угол A / угол C = 1/2 и угол B / угол D = 5/4.

Решаем полученные уравнения: угол A = (1/2) угол C и угол B = (5/4) угол D.

Таким образом, углы четырехугольника будут пропорциональны 1, 1/2, 5/4, 5.