Коротко: геометрическое место — прямая, параллельная $AC$. При движении параметра $k$ эта прямая сдвигается параллельно $AC$; внутри треугольника её пересечение — отрезок (при крайних $k$ — точка), при больших $|k|$ решений нет.
Доказательство и детали (сжато).
Обозначим ориентированные площади треугольников через $[\cdot ]$. Для точки $M$ имеем
$$[AMB]-[CMB]=\frac{1}{2}\det (M-B,C-A).$$ Поэтому условие $[AMB]-[CMB]=k$ эквивалентно
$$\det (M-B,C-A)=2k.\text{\hspace{1em}(1)}$$ Выражение (1) линейно по координатам $M$: это уравнение прямой. Поскольку детерминант с вектором $C-A$ фиксирован, все решения лежат на прямой, направление которой параллельно $C-A$ (и значит параллельно $AC$).
Интерпретация через расстояние. Пусть $|AC|$ — длина стороны $AC$, и $d$ — ориентированное расстояние от точки $B$ до искомой прямой (положительное по одной стороне от $AC$). Тогда
$$\det (M-B,C-A)=|AC|\cdot d,$$ откуда по (1)
$$d=\frac{2k}{|AC|}.$$ То есть прямая — это прямая, параллельная $AC$, удалённая от $B$ на расстояние $2k/|AC|$ (с учётом знака).
Диапазон $k$. При $M$ внутри (или на границе) треугольника функция $k=[AMB]-[CMB]$ достигает экстремумов в вершинах:
$$k(A)=[AMB]-[CMB{]}_{M=A}=0-[ABC]=-S,$$ $$k(C)=[ABC]-0=+S,$$ где $S=[ABC]$ — площадь треугольника $ABC$. Следовательно допустимый интервал
$$k\in [-S,S].$$ - Если $|k|>S$, пересечений с треугольником нет.
- Если $|k|<S$, пересечение — непустой отрезок (прямая параллельна $AC$ пересекает треугольник по отрезку).
- Если $k=S$ или $k=-S$, пересечение вырождается в единственную точку ($M=C$ при $k=S$, $M=A$ при $k=-S$).
- Важный случай $k=0$: прямая проходит через $B$; это множество точек, для которых площади $AMB$ и $CMB$ равны.
Уравнение в координатах. При координатах $A(a_x,a_y),B(b_x,b_y),C(c_x,c_y)$ условие (1) можно записать как
$$(c_x-a_x)(m_y-b_y)-(c_y-a_y)(m_x-b_x)=2k,$$ что явно задаёт прямую, параллельную вектору $(c_x-a_x,c_y-a_y)$.
Это всё.