Кратко — формулировки, доказательства (эскизы) и сравнение с евклидовыми критериями.
1) Напоминание (Евклид)
- Конгруэнция (равенство треугольников): SSS, SAS, ASA (и AAS), а также RHS (для прямоугольных). SSA не даёт общего критерия (амбигюитет).
- Подобие: SSS (стороны пропорциональны), SAS (две стороны пропорциональны и угол между ними равен), AA (два угла равны) → треугольники подобны.
2) Геометрии постоянной кривизны (сфера радиуса $R$ и гиперболический план с кривизной $-1/R^2$)
Обозначения: стороны треугольника измеряем как длины по геодезии; для удобства в сферической геометрии длины нормализуют как углы на центре (т.е. $a,b,c\in (0,\pi )$); в гиперболической геометрии часто используют длины $a,b,c>0$. Углы обозначаем $A,B,C$.
Основные тригонометрические формулы (наиболее используемые):
- Сферическая косинусная формула:
$$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A.$$ - Сферическая формула синусов:
$$\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.$$ - Гиперболическая косинусная формула:
$$\cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A.$$ - Гиперболическая формула синусов:
$$\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}.$$
3) Конгруэнция в сферической и гиперболической геометрии
Утверждение: в обеих геометриях сохраняются критерии SSS, SAS, ASA и AAS; SSA в общем случае не является критерием.
Доказательство (эскиз):
- SSS: если соответствующие стороны равны: $a=a^{\prime },b=b^{\prime },c=c^{\prime }$, то из косинусных формул (сферической или гиперболической) для пары треугольников получаем одинаковые значения правой части, откуда вычисления дают равенство соответствующих углов $A=A^{\prime },B=B^{\prime },C=C^{\prime }$. Значит треугольники совпадают (конгруэнтны).
- SAS: пусть $b=b^{\prime },c=c^{\prime },A=A^{\prime }$. Подставив в косинусную формулу, получаем одинаковые значения $\cos a$ и $\cos a^{\prime }$ (или $\cosh a$ и $\cosh a^{\prime }$), значит $a=a^{\prime }$, затем как в SSS — углы совпадают, треугольники конгруэнтны.
- ASA/AAS: зная два угла получаем третий по сумме углов (сферическая: $A+B+C>\pi$, гиперболическая: $A+B+C<\pi$, но третьий вычисляется однозначно). Затем из формулы синусов ($\frac{\sin a}{\sin A}=\cdots$ или гиперболической аналога) известны соотношения сторон; при известной стороне (ASA) или известной другой стороне (AAS) стороны однозначно определяются, поэтому треугольники совпадают.
- SSA: аналогично евклидовому случаю, в общем даёт неоднозначность — может существовать 0, 1 или 2 невырожденных треугольника с заданными двумя сторонами и не включённым углом (в сферической/гиперболической геометрии существуют аналогичные «амбигюитеты»), значит SSA не является общим критерием.
4) Подобие в неплоских геометриях (ключевой факт)
В геометриях постоянной ненулевой кривизны (сферическая и гиперболическая на заданной кривизне) нет ненулевых глобальных гомотетий: любая гомотетия масштабирующая метрический тензор меняет кривизну (скалирование метрики меняет гауссову кривизну как $K\mapsto K/s^2$), поэтому нельзя получить новое «подобное» на той же поверхности с отличным масштабом. Следствие:
- Любая подобная трансформация треугольников в этих геометриях фактически является изометрией (маштаб должен быть $1$). Поэтому понятие «подобия, отличного от конгруэнции», отсутствует: два треугольника на одной и той же сфере (или в одном и том же гиперболическом плоскости) подобны тогда и только тогда, когда они конгруэнтны.
Конкретно это даёт:
- Утверждение: равенство двух углов (AA) в сферической или гиперболической геометрии уже влечёт конгруэнцию треугольников (в отличие от евклидовой, где AA даёт только подобие). Доказательство: если треугольники имеют одинаковые углы, то по формуле синусов их сторон связаны через общий множитель $k$ ($\sin a=k\sin A$ или $\sinh a=k\sin A$), но этот множитель фиксируется единственным образом требованием постоянной кривизны (или эквивалентно через косинусную формулу), следовательно стороны совпадают и треугольники конгруэнтны; более концептуально — любая сходственная (углосохраняющая) автотрансформация поверхности постоянной кривизны является изометрией, значит угловое соответствие даёт изометрию.
5) Сравнение с евклидовыми критериями (сводка)
- Конгруэнция: SSS, SAS, ASA, AAS — действительны и в евклидовой, и в сферической, и в гиперболической геометриях. SSA — не общий критерий везде.
- Подобие: в евклидовой геометрии есть нетривиальная теория подобия (AA, SAS, SSS по пропорциям). В сферической и гиперболической геометриях нет нетривиальных гомотетий на фиксированной кривизне, поэтому «подобие» на той же поверхности редуцируется к конгруэнции: AA уже даёт конгруэнцию. Иными словами, все евклидовые критерии подобия превращаются в критерии конгруэнции в неплоской постояннокривой среде.
6) Замечания
- При переходе между поверхностями с разными радиусами/кривизнами можно рассматривать подобие треугольников на разных поверхностях (например, «тот же» треугольник на сфере радиуса $R$ и на сфере радиуса $sR$), но это уже сравнение разных метрических пространств, не внутриповерхностная похожесть.
- Для формальных доказательств можно полностью развить доводы через указанные тригонометрические формулы; приведённые выше аргументы являются достаточно общими и стандартными в литературе по геометриям константной кривизны.