Кратко — какие свойства треугольника сохраняются при каждом преобразовании:
- Параллельный перенос (сдвиг):
- Сохраняет длины, углы, параллельность, коллинеарность, соотношения отрезков, площади и ориентацию.
- В частности, сохраняются фигуры в точности (изометрия).
- Поворот (около точки, на угол $\phi$):
- То же, что и сдвиг: сохраняет длины, углы, параллельность, коллинеарность, площади и ориентацию; дополнительно фиксирует расстояния до центра поворота.
- Поворот — тоже изометрия.
- Гомотетия (с центром $O$ и коэффициентом $k$):
- Сохраняет углы, параллельность и коллинеарность.
- Все длины умножаются на $|k|$ (т. е. относительные соотношения длин сохраняются), площади умножаются на $k^2$.
- Если $k>0$, сохраняется ориентация; если $k<0$, ориентация меняется.
- Соответствующие точки (вершины, середины, пересечения) переходят в соответствующие точки.
Обобщение:
- Любая комбинация сдвига и поворота — это изометрия (конгруэнтность): сохраняет абсолютные длины и углы.
- Гомотетия вместе с поворотом/переносом даёт подобие: сохраняет углы и отношения длин.
Примеры задач, где выбор преобразования сильно упрощает доказательство (короткое пояснение метода):
1) Свойство средней линии: середины сторон $BC$ и $CA$ образуют отрезок, параллельный $BC$ и равный $\frac{1}{2}BC$.
- Преобразование: гомотетия с центром в вершине $A$ и коэффициентом $k=\frac{1}{2}$. Она переводит $B\mapsto$ середину $M_b$, $C\mapsto M_c$; значит $M_b{M}_c\parallel BC$ и $|M_b{M}_c|=\frac{1}{2}|BC|$.
2) Точки пересечения медиан (центроид) и соотношение $2:1$:
- Идея: пусть медиа́ны из $B$ и $C$ пересекаются в $G$. Гомотетия с центром $G$ и коэффициентом $\frac{1}{2}$ переводит вершины $A,B,C$ в середины противоположных сторон; отсюда $G$ лежит на третьей медиане и делит каждую медиану в отношении $(2:1)$ (вершина : основание медианы = $2:1$).
3) Околоописанная окружность прямоугольного треугольника:
- Задача: показать, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
- Преобразование: поворот на $180^{\circ }$ (центральная симметрия) вокруг середины гипотенузы переводит концы гипотенузы друг в друга и показывает, что эта точка равноудалена от трёх вершин, значит это центр окружности.
4) Задачи с построением точек по параллельности (подобие треугольников):
- Если у двух треугольников соответствующие стороны попарно параллельны, то треугольники гомотетичны. Доказательство сводится к выбору центра гомотетии (пересечение прямых, соединяющих соответствующие вершины) или показу подобия (поворот+масштаб).
- Применение: доказать, что отрезки, соединяющие соответствующие вершины, пересекаются в одной точке (центр гомотетии).
5) Удобство сдвига и поворота для координатных/векторных доказательств:
- Часто сначала переводят треугольник так, чтобы одна вершина лежала в начале координат ($A=(0,0)$), а затем поворачивают систему так, чтобы одна сторона была на оси абсцисс; это упрощает вычисления и делает очевидными равенства/параллельности.
Советы при выборе преобразования:
- Нужны абсолютные длины/площади → используйте сдвиг/поворот (изометрия).
- Нужны углы и отношения сторон → гомотетия (или подобие).
- Есть середины/серединный треугольник/медианы → гомотетия с коэффициентом $\frac{1}{2}$ или $2$.
- Симметрии (равенства углов, равные отрезки при повороте) часто удобны при повороте на $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $180^{\circ }$.
Эти идеи обычно сокращают доказательства: вместо громоздких вычислений показывают, как одна фигура получается из другой простым преобразованием, и переносят известные свойства.