Кратко: из условия
$\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$ и $\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }$ следует
$$\angle A+\angle C=180^{\circ },$$ откуда вывод: ABCD — вписанный (конвексный) четырёхугольник (все четыре вершины лежат на одной окружности). Дальше — типичные следствия и короткие доказательства.
1) Вписанность (описанная окружность существует).
Доказательство: из равенства сумм противоположных углов получаем $\angle A+\angle C=180^{\circ }$. Конверсия теоремы об вписанном угле: в выпуклом четырёхугольнике противоположные углы взаимно дополнены тогда и только тогда, когда все вершины лежат на одной окружности. Следовательно ABCD — циклический.
2) Равенства углов, соответствующие одной хорде.
В циклическом четырёхугольнике равны любые парные вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду. В частности
$$\angle BAD=\angle BCD,\angle ABC=\angle ADC,\angle ABD=\angle ACD,\angle BAC=\angle BDC.$$ (Доказание — теорема об равенстве вписанных углов.)
3) Теорема Птолемея (связь длин диагоналей и сторон).
Если ABCD циклический, то выполняется
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.$$ Короткая идея доказательства: применить закон синусов в треугольниках, имеющих одну и ту же описанную окружность (например $AB=2R\sin \angle ACB$ и т.д.), затем свести выражения — получается указанное равенство.
4) Пересечение диагоналей — теорема о произведениях отрезков (теорема о пересекающихся хордах).
Пусть диагонали пересекаются в точке $X$. Тогда
$$AX\cdot CX=BX\cdot DX.$$ (Доказательство — теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд или из равенства соответствующих углов получаются подобные треугольники.)
5) О вписанной окружности (касательной к четырёхугольнику).
Наличие вписанной окружности (чтобы окружность касалась всех четырёх сторон) не вытекает из только углового условия. Классическое необходимое и достаточное условие касательности (теорема Питота) для выпуклого четырехугольника:
$$AB+CD=BC+AD.$$ Только при выполнении этого условия существует вписанная окружность. Таким образом из исходного равенства углов нельзя утверждать существование вписанной окружности; требуется дополнительное условие на длины сторон.
6) Если ABCD одновременно вписан и описан (бицентрический, т.е. и циклический, и тангенциальный).
Тогда одновременно выполняются Птолемеева формула и Питотово равенство. Площадь $K$ циклического четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты
$$K=\sqrt{(s-AB)(s-BC)(s-CD)(s-DA)},$$ где $s=\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$. Для касательного четырёхугольника радиус вписанной окружности $r$ равен $r=\frac{K}{s}$. (Для бикцентрических есть также специализированные соотношения между $R$ и $r$, но они выходят за рамки краткого ответа.)
Итого: из данного условия мы получаем обязательную вписанность (существует описанная окружность) и далее все стандартные свойства циклического четырёхугольника (равенства вписанных углов, теорема Птолемея, теорема о пересекающихся хордах). Наличие вписанной окружности требует отдельного (суммарного) условия на стороны: $AB+CD=BC+AD$.