Классическая постановка: вершины $A,B$ — фиксированы; пусть в системе координат центр отрезка $AB$ в начале, ось $x$ вдоль $AB$. Обозначим $A=(-h,0),B=(h,0)$ (тогда $|AB|=2h$), и $C=(x,y)$. Центроид $G=\frac{A+B+C}{3}=(\frac{x}{3},\frac{y}{3})$. Медианы из $A$ и $B$ задаются векторами
$$AG=(\frac{x}{3}+h,\frac{y}{3}),BG=(\frac{x}{3}-h,\frac{y}{3}).$$ Условие: угол между ними равен $60^{\circ }$, то есть
$$AG\cdot BG=\frac{1}{2}|AG||BG|.$$ Из этого (после элементарных преобразований) получаем уравнение положения точки $C$:
$$3(x^2+y^2{)}^2-90h^2(x^2+y^2)+36h^2{x}^2+243h^4=0.$$ Это алгебраическая кривая четвёртой степени (квартика). Отсюда сразу видны основные геометрические свойства и ограничения:
- симметрии: уравнение зависит только от $x^2$ и $y^2$, значит множество симметрично относительно средней перпендикулярной к $AB$ (оси $y$) и относительно прямой $AB$ (оси $x$); отражения и перестановка $A\leftrightarrow B$ сохраняют условие;
- две ветви: при заданном $x$ квадратичное уравнение по $r^2=x^2+y^2$ даёт два значения, поэтому кривая состоит из двух овалов (ветвей), симметричных относительно координатных осей;
- границы по проекции на $AB$: подкоренное выражение даёт ограничение по $x$:
$$|x|\le 2\sqrt{3}h=\sqrt{3}|AB|.$$
- характерные точки:
- пересечения с осью симметрии $x=0$ (перпендикуляр к $AB$ через середину): получаем
$$r^2=x^2+y^2=\{\begin{array}{l}3h^2,\\ 27h^2,\end{array}$$ то есть на средней перпендикулярной возможны два положения $C$ на расстояниях $\sqrt{3}h$ и $3\sqrt{3}h$ от центра $AB$;
- пересечения с линией $AB$ (то есть $y=0$): из уравнения следует $x^2=9h^2$, т.е. два коллинеарных положения $C$ на расстоянии $3h=\frac{3}{2}|AB|$ в обе стороны от середины.
Краткая геометрическая интерпретация: векторы медиан $AG$ и $BG$ имеют фиксированную разность $AG-BG=AB$; требование постоянного угла $60^{\circ }$ между ними задаёт семейство пар векторов с фиксированной разностью — и, следовательно, семейство возможных сумм $AG+BG=2OG$ (т.е. возможных центроидов), а через $C=3G-A-B$ это даёт описанную квартику.