Площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда равна 8√5 см². Пусть длина, ширина и высота параллелепипеда равны a, b и c соответственно. Тогда площадь диагонального сечения равна ab·sin(γ), где γ - угол между сторонами a и b.

Так как площадь диагонального сечения равна 8√5 см², получаем ab·sin(γ) = 8√5.

Также известно, что боковое ребро параллелепипеда равно 4 см, т.е. a = 4.

Теперь найдем длину диагонали параллелепипеда. Диагональ параллелепипеда равна √(a² + b² + c²).

Из уравнения ab·sin(γ) = 8√5 получаем, что b = 8√5/a·sin(γ) = 8√5/4·sin(γ) = 2√5/sin(γ).

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна √(a² + b² + c²) = √(4² + (2√5/sin(γ))² + c²) = √(16 + 20/sin²(γ) + c²).

Дано, что ab·sin(γ) = 8√5. Так как a = 4, получаем b·sin(γ) = 8√5/4 = 2√5.

Отсюда b = 2√5/sin(γ), и беря квадрат этого равенства, получаем c = 2√5/cos(γ).

Из этого следует, что d = √(16 + 20/sin²(γ) + 20/cos²(γ)) = √(16 + 20(1/sin²(γ) + 1/cos²(γ))).

Таким образом, длина диагонали параллелепипеда равна √(16 + 20(1/sin²(γ) + 1/cos²(γ))).