Поскольку у трапеции KLMN угол между боковыми сторонами 60 градусов, то угол между одной из оснований (KN) и боковой стороной (KM) также равен 60 градусов. Рассмотрим треугольник KMN.

Так как KM = 8 (основание трапеции), а KN = 12 (другое основание), то согласно косинусному закону в треугольнике КМН можно найти длину боковой стороны MN:

MN^2 = KM^2 + KN^2 - 2 KM KN cos(60)
MN^2 = 8^2 + 12^2 - 2 8 12 cos(60)
MN^2 = 64 + 144 - 192 * 0.5
MN^2 = 64 + 144 - 96
MN^2 = 112
MN = √112 = 4√7

Теперь найдем высоту трапеции, опущенную из вершины K на сторону MN. Эта высота равна:
h = KM sin(60)
h = 8 sin(60)
h = 8 * √3 / 2
h = 4√3

Теперь можем найти площадь трапеции KLMN:
S = (KN + LM) h / 2
S = (12 + 8) 4√3 / 2
S = 10 * 4√3
S = 40√3

Ответ: S = 40√3.