Поскольку окружность касается сторон AB и BC треугольника ABC, то она является вписанной окружностью.
Также известно, что касательная к окружности из точки касания к центру перпендикулярна. Следовательно, треугольник AOB прямоугольный. Так как AO = 3, BO = 6, то по теореме Пифагора получаем AB = 3√5.
Аналогично для треугольника BOC: OC = 4, BO = 6, следовательно, BC = 4√5.
Радиус вписанной окружности равен r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Площадь треугольника можно найти через формулу Герона: S = √(p(p-AB)(p-BC)(p-AC)), где AC - третья сторона треугольника.
Теперь можем найти решение:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (3√5 + 4√5 + 7) / 2 = (7√5 + 7) / 2,
S = √((7√5 + 7/2)(7√5 - 7/2)(7√5 - 7/2)(7√5 - 7/2)) = 14,
r = 14 / (7√5 + 7)/2 = 28 / (7√5 + 7) = 4 / √5,
Ответ: радиус окружности равен 4 / √5, площадь треугольника ABC равна 14.