Пусть ABC - треугольник, в который вписана окружность, и PQR - треугольник, вершинами которого являются точки касания (P, Q, R).

Так как окружность вписана в треугольник ABC, то углы PAB, QBC и RCA являются прямыми углами. Также известно, что углы при основании треугольника равны: P = ( \frac{1}{2} (\alpha + \beta) ), Q = ( \frac{1}{2} (\beta) ), R = ( \frac{1}{2} (\alpha) ).

Найдем угол А:
А = 180° - (PAB + RCA) = 180° - (90° + 90°) = 0°

Найдем угол B:
В = 180° - (QBC + PAB) = 180° - (90° + ( \frac{1}{2} (\alpha + \beta) )) = 90° - ( \frac{1}{2} (\alpha + \beta) )

Найдем угол C:
С = 180° - (RCA + QBC) = 180° - (90° + ( \frac{1}{2} (\beta) )) = ( \frac{1}{2} (\beta) )

Итак, углы треугольника ABC, в который вписана окружность, равны:
A = 0°,
B = 90° - ( \frac{1}{2} (\alpha + \beta) ),
C = ( \frac{1}{2} (\beta) ).