Для начала найдем высоту трапеции. Обозначим ее через h. Так как угол между одной из боковых сторон и одним из оснований равен 135 градусов, то треугольник с высотой, одной из оснований и одной из боковых сторон будет прямоугольным. Тогда по теореме косинусов:

h^2 = (15 - 5√2)^2 + 8^2 - 2 (15 - 5√2) 8 * cos 135°.

Решив данное уравнение, найдем значение h.

Затем можем найти площадь трапеции по формуле:

S = (a + b) * h / 2,

где a и b - основания трапеции. Подставляем известные значения и найденную высоту h, и получаем ответ.