Для нахождения угла между боковой гранью и основанием треугольной пирамиды воспользуемся теоремой косинусов.

Обозначим угол между боковой гранью и основанием как α. Тогда мы можем представить вершину треугольника, образованного боковой гранью, высотой пирамиды и радиус-вектором из вершины пирамиды, как точку B.

Тогда по теореме косинусов для треугольника AOB:

cos(α) = (OA^2 + OB^2 - AB^2) / (2 OA OB)

Здесь OA = 3 (высота пирамиды), AB = 6√3 (основание пирамиды), и OB - острый угол треугольника AOB. Тогда OB = OB^2 = 3^2 + (6√3)^2 = 9 + 108 = 117, так что OB = √117.

Теперь можем найти угол α:

cos(α) = (9 + 117 - (6√3)^2) / (2 3 √117)
cos(α) = (126 - 108) / (6√117)
cos(α) = 18 / (6√117)
cos(α) = 3 / √117
cos(α) = 3√117 / 117
cos(α) = √117 / 39
α = arccos(√117 / 39)

Таким образом, угол между боковой гранью и основанием пирамиды составляет arccos(√117 / 39) радиан, или примерно 50,73 градусов.