Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где AB и AC - катеты, а BC - гипотенуза. Пусть D - середина гипотенузы BC. Так как AD - биссектриса прямого угла, то AD делит угол BAC пополам.

Проведем прямые DE и DF, параллельные катетам AB и AC соответственно. Так как AD - биссектриса, то треугольник ADE равен треудольнику ADF. Поэтому углы AED и AFD равны.

Так как DE параллельна AB, то в треугольнике ADE углы DAE и DEA равны. Аналогично, так как DF параллельна AC, то углы DAF и DFA также равны.

Таким образом, углы DAE, AED и ADE равны, следовательно треугольник ADE равнобедренный. Аналогично, треугольник ADF также равнобедренный.

Из равнобедренности треугольников ADE и ADF следует, что AE = AD и AF = AD. Следовательно, четырехугольник ADEF - квадрат.

Таким образом, полученный четырехугольник является квадратом.