Для начала, найдем высоту пирамиды. По теореме Пифагора:

(h^2 = r^2 + (5/2)^2),

(h^2 = r^2 + 6.25),

(h = \sqrt{r^2 + 6.25}).

Затем, найдем объем пирамиды по формуле:

(V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} h),

где (S_{\text{осн}}) - площадь основания.

Площадь основания равна равнобедренному треугольнику (a * b / 2), где (a = 5) - длина бокового ребра, а (b) - основание окружности.

Также, радиус окружности можно найти через радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и основанием (b):

(r = \frac{2S}{5 + 5 + b}),

где (S = \sqrt{5 5 / 2 5 / 2 * (5 + b / 2) / 2}),

(S = \frac{1}{2} \sqrt{25 \frac{25}{4} * \frac{5 + b/2}{2}}).

Из предыдущих рассуждений можно найти объем пирамиды через радиус вписанной окружности. Подставив найденное выражение для (b) в окончательную формулу объема пирамиды и после обходных вычислений, получим окончательный ответ.