Для доказательства этой теоремы рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC.

Докажем, что биссектриса AD является медианой.

Проведем биссектрису треугольника ABC, пересекающую сторону BC в точке D. Пусть точка E - середина стороны BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = AC. Значит, углы BAC и CBA равны между собой.

Из построения треугольника следует, что угол BAC = углу BAD (по построению биссектрисы). Тогда треугольники ABD и ACD равнобедренные, так как у них равны соответственные стороны AB = AC и равны углы ABD = ACD.

Таким образом, точка D - середина стороны BC, то есть биссектриса AD является медианой.

Докажем, что биссектриса AD является высотой.

Очевидно, что угол BAE = углу CAE (угол при основании равнобедренного треугольника).

Так как треугольник ABC равнобедренный, то точка E - середина стороны BC. Значит, высота треугольника, проведенная из вершины A к середине стороны BC, проходит через медиану AD.

Таким образом, биссектриса AD является медианой и высотой треугольника ABC.