Для начала выберем систему координат так, чтобы плоскость ABCD лежала в плоскости XY, причем точка A лежала в начале координат, а ось X совпадала с отрезком AB, а ось Y с отрезком AD.

Так как ребро AB параллельно оси X, то координаты точек A, B, A1 и B1 будут следующими:
A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), A1(2, 0, 0), B1(2, 3, 0).

Также так как точка P - середина ребра A1B1, то ее координаты будут:
P((2+2)/2, (0+3)/2, 0) = P(2, 1.5, 0).

Аналогично, так как точка Q - середина ребра CC1, то ее координаты будут:
Q(0, 0, (0+0)/2) = Q(0, 0, 0).

Найдем уравнения прямых, которые будем пересекать с плоскостью APQ. Уравнение прямой, проходящей через точки P и Q, имеет вид:
x/2 = y/1.5 = z/0, причем z = 0.

Подставим это уравнение в уравнение плоскости ABCD:
Получим:
2a + 1.5b = 0 => b = -4/3a.

Теперь осталось найти координаты точки U. Точка U лежит на отрезке B1C1, поэтому ее координаты будут:
U(2, -4/3*2, t) = U(2, -8/3, t).

Теперь найдем координаты точки C1:
C1(4, 3, 0).

Подставим координаты точек U и C1 в отношение B1U : UC1 и убедимся в его равенстве 2 : 1:
B1U = sqrt((2-2)^2 + (-8/3-3)^2 + (t-0)^2) = sqrt((8/3)^2 + 9 + t^2) = sqrt(64/9 + 9 + t^2),
UC1 = sqrt((2-4)^2 + (-8/3-3)^2 + (t-0)^2) = sqrt((-2)^2 + 9 + t^2) = sqrt(4 + 9 + t^2).

Отношение B1U : UC1 = sqrt(64/9 + 9 + t^2) : sqrt(13 + t^2) = sqrt(64/9 + 9) : sqrt(13) = 8/3 : sqrt(13).

Таким образом, B1U : UC1 = 8/3 : sqrt(13) = 2 : 1, что и требовалось доказать.