Для начала заметим, что так как точка O - центр вписанной окружности, то отрезки MO и NO являются радиусами этой окружности. Из условия задачи следует, что AO = 2MN, тогда MN = AO / 2 = r (где r - радиус вписанной окружности).

Обозначим точку касания вписанной окружности с BC как P. Тогда из треугольника AOP по теореме Пифагора получаем:

AP^2 = AO^2 - OP^2 = 4r^2 - r^2 = 3r^2.

Также заметим, что треугольник AMP и треугольник ANP подобны по теореме об угле между касательной и радиусом (угол MAP и угол NAP равны, так как они противоположные).

Из подобия треугольников получаем соотношение сторон: AM / AN = MP / PN.

AM = AB - BM = AB - r, AN = AC - CN = AC - r, MP = r, PN = r.

AB / AC = AP / AN = (3r)^(1/2) / (AC - r).

(AB / AC) * (1 + AB / AC) = 3^(1/2).

Заметим, что AB / AC = sin∠C / sin∠B. Тогда получаем:

(sin∠C / sin∠B) * (1 + sin∠C / sin∠B) = 3^(1/2).

Так как ∠C = 180 - ∠A - ∠B, то можно выразить sin∠C через sin∠A и sin∠B (используя тригонометрические формулы):

(sin∠A cos∠B + cos∠A sin∠B) / sin∠B cos∠A + sin∠A cos∠B) (1 + (sin∠A cos∠B + cos∠A sin∠B) / (sin∠B cos∠A + sin∠A * cos∠B) = 3^(1/2).

sin∠A (cos∠B + sin∠B) + cos∠A (sin∠B + cos∠B) = 3^(1/2).

sin∠A + cos(90 - ∠A) = 3^(1/2).

sin∠A + sin∠A = 3^(1/2).

2sin∠A = 3^(1/2).

sin∠A = 3^(1/2) / 2.

Значит, ∠A = 60 градусов.