Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведенапрямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площадитреугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM .
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведенапрямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площадитреугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM .
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим точку пересечения прямой AM с отрезком BC как N. Так как K - середина медианы BM, то NK = KM. Также, так как M - середина стороны AC, то KM = AM/2. Следовательно, NK = AM/2.
Так как AM делит отрезок BC пополам, то треугольник ABN равнобедренный, а значит, угол ABN равен углу ABM. Таким образом, треугольники ABN и ABM подобны (по двум углам), и отношение их площадей равно квадрату отношения сторон AB и AN.
Теперь рассмотрим четырёхугольник KPCM. Так как треугольник ABM подобен треугольнику ABN, то стороны KM и KN, соответственно, параллельны сторонам AB и AN. Отсюда следует, что по теореме о параллелограммах MP = MB и NC = NB. Таким образом, четырёхугольник KPCM является параллелограммом, и его площадь равна произведению диагоналей, деленному на 2: S(KPCM) = KM PC / 2 = AM PC / 4.
Итак, отношение площади треугольника ABK к площади четырёхугольника KPCM равно (AB/AN)^2 / (AMPC/4) = (AB4/AM) * (AN / PC). Так как AK делит отрезок AN пополам, то это отношение равно 8.