Для решения этой задачи нужно знать, что радиус описанного круга равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника, а радиус вписанного круга равен половине суммы катетов.

Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16^2 + 10^2} = \sqrt{256 + 100} = \sqrt{356}).

Радиус описанного круга равен (R = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{356}}{2}).

Найдем радиус вписанного круга:
(r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{16 + 10 - \sqrt{356}}{2} = \frac{26 - \sqrt{356}}{2}).

Площадь вписанного круга вычисляется по формуле (S = \pi r^2):
(S = \pi \left( \frac{26 - \sqrt{356}}{2} \right)^2 \approx 77.85\,см^2).

Ответ: Площадь вписанного круга равна приблизительно 77.85 квадратных сантиметров.