Обозначим верхнюю основу равнобедренной трапеции через a, боковую сторону - через b, а длину отрезка, равного 2, через x. Также обозначим радиус окружности через r.

Так как одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания на отрезки, равные 2 и 2√2, то получаем, что x = 2 и a = b = 2√2.

Так как данная окружность вписана в трапецию, то отрезки касания являются радиусами этой окружности. Тогда получаем, что r = x = 2.

Используя свойство окружности, что длина касательной, проведенной к окружности из точки касания, равна радиусу, получаем, что

r² = x(x + b - a)/2
2² = 2(2√2 + 2 - 2√2)/2
4 = 2(2)
4 = 4

Таким образом, условие выполняется. Значит, данный рассуждение верно.

Найдем площадь трапеции по формуле:

S = (a+b) h / 2
S = (2√2 + 2√2) 2 / 2
S = 4√2

Ответ: площадь трапеции равна 4√2.